9、多目标优化与大规模算法详解

多目标优化与大规模算法详解

1. 多目标优化概述

在实际设计问题中，通用优化公式所构成的数学问题往往与实际情况存在较大差异。单一目标和多个硬约束条件很难充分代表实际面临的问题，更多时候需要对一组目标向量进行权衡。随着目标数量的增加，权衡变得更加复杂且难以量化，这在很大程度上依赖设计师的直觉和表达偏好的能力。因此，多目标设计策略需要能够自然地表达问题，并将设计师的偏好融入到可数值求解的实际设计问题中。

1.1 多目标优化的基本概念

多目标优化旨在最小化一个目标向量 $F(x)$，该向量可能受到多个约束或边界的限制。由于 $F(x)$ 是向量，如果其某些分量相互竞争，那么这个问题就没有唯一解。此时，需要引入非劣性（也称为帕累托最优）的概念来描述目标。

非劣解是指在一个目标得到改进时，必然会导致另一个目标的退化。具体定义如下：
设参数空间中满足所有约束的可行区域为 $\Omega$，即
$\Omega = {x \in \Re^n | g_i(x) = 0, i = 1, \ldots, m_e; g_i(x) \leq 0, i = m_e + 1, \ldots, m; x_l \leq x \leq x_u}$

相应的目标函数空间的可行区域为 $\Lambda$，其中 $y = F(x)$ 且 $x \in \Omega$。

一个点 $x^ \in \Omega$ 是非劣解，如果在 $x^ $ 的某个邻域内，不存在 $\Delta x$ 使得 $x^ + \Delta x \in \Omega$，且 $F_i(x^ + \Delta x) \leq F_