12、并行机器上的固定顺序调度问题解析

并行机器上的固定顺序调度问题解析

1. 引言

在众多物流和服务应用中，存在一个看似简单却极具挑战性的调度原则。给定一系列作业和一组机器，需要将作业逐个分配到机器上，且每台机器上的作业顺序要与原序列一致，即遵循先进先出（FIFO）原则。每个作业有处理时间 $p_j$ 和权重 $w_j$，目标是最小化加权完成时间的总和，其中作业 $j$ 的完成时间是同一机器上先于 $j$（包括 $j$）的作业的总处理时间。

这个问题与排队论中的任务分配问题类似，不同之处在于这里作业的处理时间信息是完全已知的。该问题可以看作是将单个队列中的作业最优地分配到 $m$ 个服务器队列中。而将 $m$ 个队列合并为一个队列的逆问题，是经典的单机调度问题，可通过贪心算法高效解决。

在调度文献中，固定顺序调度问题是具有序列相关设置时间的调度问题的特殊情况。但目前从理论角度对该问题的了解甚少。此外，该问题的在线版本不存在常数竞争比的算法。

常见的调度问题在无排序约束时通常有较好的近似算法，但固定顺序调度问题对这些技术具有很强的抗性。为了解决这个问题，本文定义了一个重要的偏序关系 $\prec$，并引入了 Smith - 单调调度的概念，通过一系列方法来构建近似算法。

2. 问题定义、符号表示和 NP 难度

• 问题定义 ：有一组相同的机器 $M = {1, \ldots, m}$，每台机器一次只能处理一个作业；还有一个全序的作业集合 $J = {1, \ldots, n}$，每个作业 $j \in J$ 有权重 $w_j \in N$ 和处理时间 $p_j \in N$。定义 Smith 比率 $s_j