6、高效输出时间下通信协议的扩展公式化

高效输出时间下通信协议的扩展公式化

1. 引言

线性扩展公式化是整数规划和组合优化中的基础工具。它能将多面体 $P$ 上的优化问题转化为线性投影到 $P$ 的多面体 $Q$ 上的类似问题。当 $Q$ 能用比 $P$ 少得多的不等式描述时（通常在 $P$ 的维度上是多项式与指数的关系），就能实现计算加速。

这里，$Q$ 被称为 $P$ 的扩展，描述 $Q$ 的一组线性不等式就是扩展公式化，而 $P$ 的扩展公式化中最少的不等式数量被称为 $P$ 的扩展复杂度，记为 $xc(P)$。近年来，计算或界定多面体的扩展复杂度一直是重要的研究课题。

扩展复杂度的下界通常是无条件的，既不依赖任何复杂度理论假设，也不考虑产生扩展所需的时间或不等式中系数的编码长度。而上界往往是建设性的，能在其大小的多项式（通常是线性）时间内产生扩展公式化，例如 Balas 的多面体并集、反射关系和分支多面体分支系统。

能够高效构建扩展公式化至关重要，因为其最终目标是让某些优化问题更易处理。不过，某些扩展公式化的存在与高效构建之间存在差距。例如，存在一个对稳定集多面体进行 $O(\sqrt{n})$ 近似的小扩展公式化（$n$ 是图的节点数），但由于已知的难度结果，我们预计无法高效获得它。另一个例子是，关于最小背包问题具有 $2 + \epsilon$ 整数间隙的次指数大小公式化的存在性证明早于具有这些性质的公式化的高效构建。

本文研究用于产生扩展公式化的重要工具——通信协议的效率。Yannakakis 证明了计算多面体 $P = {x : Ax ≤ b} ⊆ R^n$ 松弛矩阵的确定性通信协议可用于为 $P$ 产生扩展公式化，其不等式数量最多为 $2^c$，其中 $c$ 是