3、基于多割的最小 - 最大相关聚类算法解析

基于多割的最小 - 最大相关聚类算法解析

1. 问题背景与定义

在图论和聚类分析领域，相关聚类是一个重要的研究方向。传统的相关聚类算法通常以全局最小化分歧为目标，然而本文聚焦于最小 - 最大相关聚类问题，旨在最小化每个聚类的最大分歧。

• 最小 - 最大相关聚类定义 ：给定一个边加权图 $G = (V, E)$，其中每条边被标记为正或负。该问题要求对节点进行划分（聚类），使得每个聚类的最大分歧最小化。聚类 $C$ 的分歧定义为两个端点都在 $C$ 内的负边的权重加上恰好有一个端点在 $C$ 内的正边的权重。
• 最小 - 最大多割定义 ：给定一个边加权图 $G = (V, E)$ 和一组源 - 汇对 ${(s_1, t_1), \cdots, (s_T, t_T)}$，目标是对 $G$ 进行划分 $P = {P_1, P_2, \cdots, P_{|P|}}$，使得所有源 - 汇对都被分离，并且 $\max_{1\leq i\leq |P|} \delta(P_i)$ 最小化。这里 $\delta(S)$ 表示恰好有一个端点在 $S$ 中的边的数量。
• 最小 - 最大约束多割定义 ：给定一个边加权图 $G = (V, E)$ 和一组源 - 汇对 ${(s_1, t_1), \cdots, (s_T, t_T)}$，以及分离所有源 - 汇对所需的最小部分数 $k$，目标是将 $G$ 划分为 $k$ 个部分 ${P_1, \cdots, P_k}$，分离所有源 - 汇对，并最小化 $\max_{1\leq i\leq k} \delta(