16、群的直积：理论与应用解析

群的直积：理论与应用解析

在数学领域中，群的直积是一种强大的工具，它允许我们从已有的群构造出新的群。这种方法不仅在理论研究中具有重要意义，还在编码理论和密码学等实际应用中发挥着关键作用。本文将深入探讨群的直积的相关概念、性质及应用。

1. 外部直积的定义与性质

外部直积是构建新群的一种基本方法。设 (G_1) 和 (G_2) 为两个群，它们的外部直积 (G_1 \oplus G_2) 定义为：
(G_1 \oplus G_2 = {(g_1, g_2) : g_i \in G_i})
其中，((g_1, g_2) (g_1’, g_2’) = (g_1g_1’, g_2g_2’))，这里的每个乘积 (g_ig_i’) 是在群 (G_i) 的运算下进行的。

对于多个群 (G_1, G_2, \cdots, G_n)，它们的外部直积 (G_1 \oplus G_2 \oplus \cdots \oplus G_n) 定义为：
(G_1 \oplus G_2 \oplus \cdots \oplus G_n = {(g_1, g_2, \cdots, g_n) : g_i \in G_i})
且 ((g_1, g_2, \cdots, g_n) (g_1’, g_2’, \cdots, g_n’) = (g_1g_1’, g_2g_2’, \cdots, g_ng_n’))。

可以证明，(G_1 \oplus G_2 \oplus \cdots \oplus G_n) 关于上述定义的运算构成一个群。下面从群的四个基本性质来进行证明：
- 封闭性 ：设 (a = (g_1, g_2