旅行商问题【状压dp】

最新推荐文章于 2025-04-08 20:54:08 发布

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文章标签：状压dp 旅行商 TSP

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/csdnliwenqi/article/details/116374020

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本文介绍了旅行商问题（TSP），一个经典的数学难题。通过动态规划的方法，详细阐述了如何解决规模较小的TSP问题，特别是使用状压dp的思路。文章详细解释了动态规划的状态转移方程，并给出了实现代码，包括初始状态设置、状态枚举和转移过程。最后，讨论了当去除每个城市只能拜访一次的限制时，如何利用Floyd算法求解。

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一。问题介绍

旅行商问题，即TSP问题（Travelling Salesman Problem）又译为旅行推销员问题、货郎担问题，是数学领域中著名问题之一。假设有一个旅行商人要拜访n个城市，他必须选择所要走的路径，路径的限制是每个城市只能拜访一次，而且最后要回到原来出发的城市。路径的选择目标是要求的路径路程为所有路径之中的最小值。

二。解决方法（理论）

TSP是一道经典的NP-完全问题。在规模比较小的时候，可以用动态规划求解。

有n个城市，两两之间均有道路直接相连，给出每个城市i和j之间的道路长度dist(i, j)。求一条经过每个城市一次且仅一次，最后回到起点的路线，使得经过的道路总长度最短。n<=16,城市编号为0~n-1。

因为路线是一个环，可以规定任意点为起点和终点，不妨设城市0为起点和终点。设d(s,i)表示“当前在i城市，已访问城市集合为s”的最短长度，则d(s, i)=min{d(s - i, j) + dist(j, i) | i∈S}.

初始时d({0},0）=0，最终答案为min{d({0,1,2,,,,n-1}, i) + dist(i, 0) | i≠0}

时间复杂度为O( $n^{2}2^{^{n}}$ )。

根据该思路可以写下如下代码：

memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));
dp[1][0] = 0;
for (int s = 0; s < (1<<n); s++) {    //枚举集合状态s
    for (int i = 0; i < n; i++) {     //枚举当前的点i
        if (s & (1<<i)) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {    //枚举之前的点j
                if (j != i && (s & (1<<j)) {
                    dp[s][i] = min(dp[s][i], dp[s ^ (1<<i)][j] + dist[j][i]);    //根据之前的点j，更新当前的点i。
                }
            }
        }
    }
}
int ans = INF:
for (int i = 1; i < n; i++) {    //注意这里的i是从1开始的，因为访问城市的时候我们规定从0号城市访问，要走一个回路需要走n步，第n-1步必须是非0号城

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