旅行商问题 状压dp

问题：给定一个n个顶点组成的带权有向图的距离矩阵d(I,j)(INF表示没有边)。要求从顶点0出发，经过每一个顶点恰好一次后再回到顶点0.问所经过的边的总权重的最小值是多少？

可以在O(2的n次方*n的平方）的时间内完成计算。对于不是整数的情况，很多时候很难确定一个合适的递推顺序，因此使用记忆化搜索可以避免这个问题。

用整数表示集合的位运算：

int n;
int d[maxn][maxn];//保存路径权值
int dp[1<<maxn][maxn];//记忆化搜索使用的数组，dp[S][v]表示从v出发访问剩余的所有顶点S，最终回到0的路径的权重总和的最小值
int rec(int S,int v){//已经访问过的节点集合为S,当前位置为v
    if(dp[S][v]>=0){
    	return dp[S][v];
	}
	if(S==(1<<n)-1&&v==0){//已经访问过所有节点并回到0号点 
		return dp[S][v]=0;
	}
	int res=INF;
	for(int u=0;u<n;u++){//寻找下个移动的位置 
		if(!(S>>u&1)){//如果没有访问过 
			res=min(res,rec(S|1<<u,u)+d[v][u]);
		}
	}
	return dp[S][v]=res;
}
void solve(){
	memset(dp,-1,sizeof(dp));
	printf("%d\n",rec(0,0));
}  

使用循环求解： 

int n;
int d[maxn][maxn];//保存路径权值
int dp[1<<maxn][maxn];//记忆化搜索使用的数组，dp[S][v]表示从v出发访问剩余的所有顶点S，最终回到0的路径的权重总和的最小值
void solve(){
	memset(dp,inf,sizeof(dp));//找最小值初始化为无穷大
	dp[(1<<n)-1][0]=0;//已找到所有点并回到0点
	for(int S=(1<<n)-2;S>=0;S--){//从11..10开始遍历
		for(int v=0;v<n;v++){//当前节点
			for(int u=0;u<n;u++){//下个节点
				if(!S>>u&1){//若未被访问
					dp[S][v]=min(dp[S][v],dp[S|1<<u][u]+d[v][u]); 
				}	
			}
		}
	}
	printf("%d\n",dp[0][0]);
}