状态压缩动态规划【状压DP】模板+例题

例题一。

n个人在做传递物品的游戏，编号为1~n。

游戏规则是这样的，开始时物品可以在任意一人手上，他可以把物品传递给其他人中的任意一位；下一个人可以传递给未接过物品的任意一人。

即物品只能经过同一个人一次，而且每次传递过程都有一个代价；不同的人传给不同的人的代价值没有联系。

求当物品经过所有n个人之后，整个过程的总代价最小是多少？

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【解析】

我们可以将"当前传递过物品的人的集合,最后一个传递到得人"作为 状态 进行动态规划，用dp[i][j]表示这个状态的最小代价。

这里，我们就要用到状态压缩，把“传递过物品的人的集合”压缩为一个整数，我们用二进制表示这个集合，比如一共5个人，第0、3、4个人被传递过（为了方便起见，序号从0开始），就用11001(2进制)表示，该集合的十进制表示为25。

注意到j是最后一个被传递到的人，也就是说必须在传递集合i中标记为1，即合法状态必须满足(i&(1<<j)) != 0。也即(i&(1<<j))为true。如果从j传递到k，那k必须不再集合i里。即必须满足(i&(1<<k))==0。

转移方程为dp[i|1<<k][k] = min(dp[i|1<<k][k], dp[i][j] + a[j][k]。其中a[j][k]为从j传递到k的代价。

因为开始时物品的可以在任意一人手上，所以把dp[1<<i][i]