Reciprocal cycles

最新推荐文章于 2024-01-23 21:56:50 发布

原创最新推荐文章于 2024-01-23 21:56:50 发布 · 616 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

算法练习专栏收录该内容

26 篇文章

订阅专栏

本文探讨了单位分数中循环小数长度的问题，并提供了一个算法来找出小于1000的分母中拥有最长循环周期的分数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

https://projecteuler.net/problem=26

Reciprocal cycles

Problem 26

A unit fraction contains 1 in the numerator. The decimal representation of the unit fractions with denominators 2 to 10 are given:

¹/₂ = 0.5
¹/₃ = 0.(3)
¹/₄ = 0.25
¹/₅ = 0.2
¹/₆ = 0.1(6)
¹/₇ = 0.(142857)
¹/₈ = 0.125
¹/₉ = 0.(1)
¹/₁₀ = 0.1

Where 0.1(6) means 0.166666..., and has a 1-digit recurring cycle. It can be seen that ¹/₇ has a 6-digit recurring cycle.

Find the value of d < 1000 for which ¹/_d contains the longest recurring cycle in its decimal fraction part.

因为分母部分保持不变，所以只要分子部分一旦重复出现，循环小数的数量就确定下来了。而分子部分其实就是对分母取余剩下的那部分。可以测试一下1/7即可。

因为取余的值不会大于分母，所以计算量也不会大于分母。

当然，有一个公式可以算出素数的循环小数的位数，用起来更简单一点，不过1000个也就没有必要了。

当然除了像下面这样蛮算，还可以将数拆分下来，求所有的因子，如：1/21 = 1/3 * 1/ 7他的循环小数位数就是 1 * 6.依次类推，也挺简单的。

def ReciprocalCycles():
    #循环小数数量集合
    result = 0
    maxNum = 0
    for i in range(1,1000):
        #找到每一个值的循环小数数量
        tmp = CountCycle(i)
        if maxNum < tmp:
            maxNum = tmp
            result = i
    return result

def CountCycle(num):
    #余数的字典，记录每一个余数所在的位置
    ModDict={}
    #把1初始化进去
    ModDict[1]=0
    #记录下一个余数所在位置
    index=1
    #下一个除数是1 * 10
    Numerator = 10
    #求取第一个真正的余数
    modNum = Numerator % num
    #如果余数为零，或者余数之前出现过，则退出，否则一直进行
    while modNum != 0 and modNum not in ModDict:
        #将余数和其位置放到字典里面
        ModDict[modNum] = index
        #除数初始化
        Numerator = modNum * 10
        #求余数
        modNum = Numerator % num
        #更新余数的下一个位置
        index += 1
    #如果能除尽，则不是循环小数
    if modNum == 0:
        return 0
    #返回两个相同余数的位置差，就是循环小数的数量
    return index - ModDict[modNum]

print(ReciprocalCycles())