动态规划(Dynamic Programming)之切割钢条问题(rod cutting problem)

问题描述

Seriling公司购买长钢条，将其切割为短钢条出售。切割工序本身没有成本支出。公司管理层希望知道最佳的切割方案。
假定我们知道Serling公司出售一段长为$i$英寸的钢条的价格为$p_i$($i=1,2,...,$单位为美元)。钢条的长度均为整英寸。下表给出一个价格表样例。

长度$i$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
价格$p_i$	1	5	8	9	10	17	17	20	24	30

正式的问题描述为：给定一段长度为n英寸的钢条和一个价格表$p_i(i=1,2,...,n)$，求切割方案，使得销售的收益$r_n$最大。注意，如果长度为n英寸的钢条价格$p_n$足够大，最优解可能就是完全不需要切割。

考虑n=3的情况，我们用一组数字来表示一种可能的切割情况，共有(3)，(1, 2)，(2, 1)，(1, 1, 1)四种可能。卖出获得的收益分别是8，6，6，3美元。

对一个长度为n的钢条，在距离左端$i$英寸处我们可以选择切或不切，所以总共有$2^{n-1}$种切割方案。假设最优的方案是切为k段($1\le k\le n$)，每段长为$i_k$，那么最优切割方案可表示为
$$n=i_1+i_2+...+i_k$$

该方案下的最大收益为
$$r_n=p_{i_1}$$