分治算法中的数学——求解递归式（代入法）

前言

       在运用分治法将原问题分解成多个子问题后，通常可以得到一个关于时间复杂度的递归式，如T(n)=T(n/2)+O(1)，如何求解递归式并得出该算法的时间复杂度O(f(n))就是我们要解决的问题。一般来说，有三种方法可以供我们选择，代入法、递归树法和公式法（即《算法导论》中所描述的主方法）。下面先从代入法开始讲起。

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代入法

一、基本步骤

1. 猜测解的形式，
2. 运用第二类数学归纳法，证明存在常数c使得 

二、数学归纳法

定义

数学归纳法是代入法的核心，此处使用的是其第二种形式，其具体过程如下：

1. 当  时，命题成立；
2. 假设当  时，命题成立，由此可推得当  时，命题也成立。

我们用一个例子来说明用数学归纳法证明递归式的解的过程。

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例：求递归式  的渐进上界。

解：第一步猜测的时候需要一些经验，观察递归式和已知确界的式子是否相似，选取相应的解的形式。这里我们猜测 ，然后用数学归纳法证明其正确性。

假设存在，使得对