扩展欧几里得

扩展欧几里得算法由欧几里得算法扩展出来的，看名字也看的出，要知道什么是扩展欧几里得，首先要知道什么是欧几里得算法。
欧几里得算法是用来求解两个数的最大公约数，其算法实现如下。

int gcd(int a,int b)
{
   return b == 0?a:gcd(b,a%b);
}

扩展欧几里得算法是解决方程ax + by = c的解的问题，如果c%gcd(a,b) == 0,那么有解（可能不止一组），反之无解。下面给出扩展欧几里得算法的具体实现。
假设当前我们要处理的是求出 a 和 b的最大公约数，并求出 x 和 y 使得 a*x + b*y= gcd ，而我们已经求出了下一个状态：b 和 a%b 的最大公约数，并且求出了一组x1 和y1 使得： b*x1 + (a%b)*y1 = gcd ， 那么这两个相邻的状态之间是否存在一种关系呢？
我们知道： a%b = a - (a/b)*b（这里的 “/” 指的是整除，例如 5/2=2 , 1/3=0），那么，我们可以进一步得到：
gcd = b*x1 + (a-(a/b)*b)*y1
= b*x1 + a*y1 – (a/b)*b*y1
= a*y1 + b*(x1 – a/b*y1)
对比之前我们的状态：求一组 x 和 y 使得：a*x + b*y = gcd ，是否发现了什么？
这里：
x = y1
y = x1 – a/b*y1
所以我们可以得出扩展欧几里得算法代码实现如下

int ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
   if(b == 0)
   {
      x = 1;
      y = 0;
      return a;
   }
   int ans = ex_gcd(b,a%b,x,y);
   int term = x;
   x = y;
   y = term - a/b*y;
   return ans;
}

其中最后，x,y是方程的一组特解。
有些时候需要我们求出x或y的最小整数解。我们以x为例，y求解方式类似。
求出特解x,y之后，gcd =abs( gcd(a,b)),b = b/gcd,x = x*(c/gcd),x = (x%b + b)%b.
之后x就是最小整数解了。
扩展欧几里得算法还可以求解一个数的乘法逆元。乘法逆元定义如下：

那么我们称x是a在m意义下的逆元。
那么求解最小逆元的算法如下
我们构造方程 a*x + m*y = 1.
解出x的最小的最小整数解就行。
解法就是上面的c = 1.其他都一样。