ST算法(倍增)

最新推荐文章于 2024-04-21 14:24:18 发布

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ST算法是一种高效的数据结构，用于解决区间最值查询问题。通过预处理，可在O(NlogN)时间内构建数据结构，并在O(1)时间内回答任意区间的最大值或最小值。本文详细介绍了ST算法的工作原理，包括初始化、查询过程以及代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

作用：

ST算法是用来对任意一个数组，求其任以（l~r）区间内的最大值（最小值也可以）。

题解：

引出：

首先遇到这一类题，我们可以暴力查找，但是这种方法如果询问多次，直接让您原地起飞，显然我们机智的"前人"是不能忍的，于是牛逼的ST算法出现了。
其方法主要是以 $O(N log_{} N)$ 的时间，最后以 $O (1)$ 时间回答。

题解：

设f[i][j]表示子区间 $i,i + 2^{j} - 1）$ 中的最大值。我们可以倍增区间长度，那么则有 $f [i] [j] = m a x (f [i] [j - 1], f [i + (1 < < (j - 1))] [j - 1])$ ，即是 $i——i + 2^{j} - 1）$ 区间最大值=将长度为 $2^{j}$ 分成两半： $i——i+2^{j - 1}）$ 与 $i+2^{j - 1}$ —— $i$ + $2^{j}$ - 1)中间取最大。可以想成递推的方式吧。

初始化：
f[i][0]即是指 $i$ ~ $i$ 最大值=a[i];

输出：
假设我们需要查询区间[l,r]中的最小值，令 $k = l o g 2 (r - l + 1)$ ，则最小值为 $m a x (f [l] [k], f [r - (1 < < k) + 1] [k])$
证明：
更据前面分析我们知道，两个数组表示 $l, l + 2^{k} - 1）$ 和 $r - 2^{k} + 1, r）$ 所以我们只需要证明这两个区间覆盖了 $l — — r$ 及证 $r - 2^{k} + 1 <= l + 2^{k} - 1$ ，这里用移项然后再带入k最后的到 $r - l > = 0$ ,及原式成立。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std; 
const int MAXN = 1e6 + 5;

int n, m, x, y, a[MAXN], f[MAXN][105];
void ST(int n) {
	for(int i = 1;i <= n; i++) {
		f[i][0] = a[i];
	}
	int t = log(n) / log(2) + 1;
	for(int j = 1;j < t; j++) {
		for(int i = 1; i <= n - (1 << j) + 1; i++) {
			f[i][j] = max(f[i][j - 1], f[i + (1<<(j-1))][j - 1]);
		}
	} 
} 

int STF(int l, int r) {
	int k = log(r - l + 1) / log(2);
	return max(f[l][k], f[r - (1 << k) + 1][k]);
}
int main() {
	scanf("%d %d", &n, &m);
	for(int i = 1;i <= n; i++) {
		scanf("%d", &a[i]);
	}
	ST(n);
	for(int i = 1;i <= m; i++) {
		scanf("%d %d", &x, &y);
		printf("%d\n", STF(x, y));
	}
	return 0;
}