欧拉公式推导

１.  引子

看傅立叶变换的时候，一直奇怪，幂指数是怎么映射成三角函数的？学习了一下欧拉公式，果然很神奇，用到了自然常数e，圆周率π，虚数i，三角函数sin/cos，指数，还有泰勒展开．倒不是算法有多难，只是涉及基础太多，经常被卡住，总结如下．

２.  泰勒展开

泰勒展开是用多项式逼近原函数，这么做是因为像sin(x)这样的函数，如果代入x=4很难算出结果，但是将x的值代入形如f(x)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3…的多项式就很容易计算。具体是用原函数的导数实现的，把函数展开成多项式，公式如下：

其中Rn(x)是余项

３.  自然常数e

e是自然常数(欧拉数)，它是一个约等于2.718的无理数，定义是

它的含义可以通过复利来理解，假设你有1块钱，年利息是1块钱（100%），一年后可拿到两块钱(1+1/1)^1=2；按利滚利计算，如果半年付一次利息(1+1/2)^2=2.25；一个月付一次息，(1+1/12)^12=2.61；每天付一次息，(1+1/365)^365=2.715，当x驱于无穷时e约为2.718．

４.  自然指数e^x的泰勒级数展开

把e^x在x=0处展开，由于e^0=1且e^x的导数还是e^x，展开后得到

上图是e^x，以及展开式前5项和前10项拟合的图像

５.  复数

复数是形如a+b*i的数，其中a,b是实数，i^2=-1.（对应直角坐标系）
在复变函数(复数作为自变量和因变量的函数)中，变量z可以写成z=r (cosθ+ isinθ) ．r是z的模，即r = |z|; θ是z的辐角，复数记作点Z(a,b)或向量OZ（对应极坐标系）

把乘一次i看成相对0点逆时针转90度，乘两次，转180度，转成实轴的-1，转三次是-i，转四次又回到单位1。因此可以把其虚部看成定义如何旋转。

６.  把虚数i代入e^x的展开式

虚数i是-1开方，因此有i^1=i, i^2=-1，i^3=-i，i^4=1

此时可以看到其结果分为实部和虚部两部分

７.  把sin(x)做泰勒级数展开

在x=0处展开，由于sin(0)=0，cos(0)=1，sin’(x)=cos(x)，cos’(x)=-sin(x)

８.  把cos(x)做泰勒级数展开

在x=0处展开

９.  欧拉公式

由以上几步，可以看到e^ix的实部和虚部正好对应sin(x)和cos(x)的展开，据此，得到欧拉公式：

欧拉公式将指数函数的定义域扩大到了复数域，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”。
下图中，将上式右侧表示为二维坐标中的点，xy轴分别表示其实部虚部，θ为转角(即上式中的x)，转动半径为单位1（模不变）．它的几何意义就是随着虚部x的增加不断转圈．

可以把 e^(i*x) 看作通过单位圆的圆周运动来描述单位圆上的点，e^(i*x)表示在单位圆上转动了x弧度(即某个角度时)得到的向量，以此类推，e^(πi)在单位圆上转了半圈。显然得到的是实轴上的-1，然后与1合并可抵消得到0 ，由此得到 ：

１０.           扩展成时间的函数

上图中又加入了t，把e^(ix)想成e^(iwt)，t是时间，w是系数。
把平面上的转圈扩展成了空间中的转圈，纵轴表示时间t，两个横轴分别为实部(cos(t))和虚部(sin(t))，蓝线经过的点是e^ix，即，把时域上的e^ix分别投射到了实轴cos(t)和虚轴sin(t)，它们都是时间t的函数．图中可看到正余和余弦的投射（红／绿），如果用python做3D图，拖动旋转角度效果更直观．这就傅立叶变换原理：将时域值拆分映射到频域，通过三角函数的叠加表示。

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