11、线性方程组与特征值相关知识解析

线性方程组与特征值相关知识解析

1. 高斯消元法

1.1 矩阵求逆示例

通过一系列初等行变换将矩阵化为行阶梯形，再进一步化为简化行阶梯形，从而求得矩阵的逆。例如，对于矩阵的操作：
- 从矩阵 (A) 开始，经过减去第二行到第三行并将第三行乘以 (-1) 等操作得到 (A_4) 使其处于行阶梯形。
- 继续操作，从第一行和第二行减去第三行得到 (A_5)。
- 最后从第一行减去第二行得到 (A_6)，进而得到 (A) 的逆矩阵 (A^{-1})。

1.2 欧拉问题求解

1.2.1 问题描述

一位瑞士农民买羊、山羊和猪，总数 100 只，花费 100 克朗，羊每只 ( \frac{1}{2}) 克朗，山羊每只 ( 1\frac{1}{3}) 克朗，猪每只 ( 3\frac{1}{2}) 克朗，求各买多少只。

1.2.2 求解过程

设羊、山羊和猪的数量分别为 (x_1)，(x_2)，(x_3)，得到方程组：
[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \
\frac{1}{2} & \frac{4}{3} & \frac{7}{2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \
x_2 \
x_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
100 \
100
\end{pmatrix}
]
通过一系列变换