ST表 c++ 笔记

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#c++ #笔记 #数据结构

于 2023-10-14 20:19:04 首次发布

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ST表

介绍

ST表是一种基于倍增思想，用于解决可重复贡献问题的数据结构。
它可以在 $O(nlog⁡n)O(n\log n)$ 的时间内预处理，然后可以在 $O (1)$ 的时间内回答区间最值查询问题。具体来说，对于一个长度为 $n$ 的序列 $a$ ，我们可以预处理出一个 $n×log⁡2nn\times \log_2 n$ 的二维数组 $s t$ ，其中 $st_{i,j}$ 表示从位置 $i$ 开始、长度为 $2^j$ 的区间内的最小值（或最大值）。这个预处理过程可以使用动态规划来实现，时间复杂度为 $O(nlog⁡n)O(n\log n)$ 。之后，对于一个查询区间 $[l, r]$ ，我们可以找到最大的 $k$ ，使得 $2k≤r−l+12^k\le r-l+1$ ，然后用 $st_{l,k}$ 和 $st_{r-2^k+1,k}$ 中的较小值（或较大值）来回答查询问题。

具体来说，对于一个长度为 $n$ 的序列 $a$ ，我们可以预处理出一个 $n×log⁡nn\times \log n$ 的二维数组 $s t$ ，其中 $st_{i,j}$ 表示从位置 $i$ 开始、长度为 $2^j$ 的区间内的最值。这个数组的预处理可以通过以下递推式完成：

$\begin{aligned} st_{i,0}&=a_i\ st_{i,j}&=\min or \max{st_{i,k},st_{i+2^k,j-2^k}} \end{aligned}$

其中 $0≤k<j0\leq k<j$ 。

预处理完成后，我们可以通过以下方式回答区间最值查询问题：对于一个查询区间 $[l, r]$ ，我们可以找到最大的 $k$ ，使得 $2k≤r−l+12^k\leq r-l+1$ ，然后计算 $min{st_{l,k},st_{r-2^k+1,k}}$ 即可。

模板代码

平衡的阵容
P3865 【模板】ST 表

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,a[10005],f[10005][25],g[10005][25],l,r,k;
void fun(){
    for(int j=1;j<=log2(n);j++){
        for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++){
            f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);
            g[i][j]=min(g[i][j-1],g[i+(1<<(j-1))][j-1]);
        }
    }
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
        f[i][0]=a[i];
        g[i][0]=a[i];
    }
    fun();
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d",&l,&r);
        k=log2(r-l+1);
        printf("%d %d\n",max(f[l][k],f[r-(1<<k)+1][k]),min(g[l][k],g[r-(1<<k)+1][k]));
    }
    return 0;
}