C++ST表

ST表是一种基于倍增思想的数据结构。常用来解决静态区间最值问题。

ST表用于解决可重复贡献问题。

例如有n个数的数列A，有m个区间，求区间[l,r]最大值。

区间最大值是一个可重复贡献问题，所以可以对其进行预处理。

对于这个问题我们能使用至多两个预处理过的区间来覆盖询问区间。

设f[i][j]表示数列A中在[i,i+2^j-1]的最大值，即从第i个数开始2^j个数中的最大值。然后可以得到以下表达式：

        f [ i ] [ j ] = max ( f [ i ] [ j − 1 ] , f [ i + 2 ^ j − 1 ] [ j − 1 ] )

边界为：

f [ i ] [ 0 ] = a [ i ] 

于是可以写出以下代码：

for(int i=1;i<=n;i++)f[i][0]=a[i];
int t=log(n)/log(2)+1;
for(int j=1;j<t;j++)
		for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);

当需要求[l,r]最大值时，需要计算k(2^k≤r−l+1<2^k+1)

首先根据2^k≤r−l+1得

k ≤ log2​ ( r − l + 1 )

根据换底公式得：

k ≤ log ( r - l + 1 ) / log ( 2 ) 

接下来根据r−l+1<2^k+1得

k > log ( r - l + 1 ) / log ( 2 ) -1

最大的k就是k的上界,所以[l,r]最大值为：

max ( f [ l ] [ k ]  , f [ r − ( 1 < < k ) + 1 ] [ k ] ) 

 可写出代码：

int k=log(r-l+1)/log(2);
ans=max(f[l][k],f[r-(1<<k)+1][k])

换底公式

log a ( b ) / log a ( c ) = log c ( b ) 

可重复贡献问题

 对于运算opt，运算的性质满足x  opt  x=x则对应的区间询问就是一个可重复的贡献问题。

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博客中2的n次幂使用2^n表示。