【BZOJ】2326: [HNOI2011]数学作业-dp&矩乘

最新推荐文章于 2019-07-04 22:58:56 发布

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矩阵加速DP

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本文介绍了一种使用动态规划结合矩阵快速幂的方法解决特定数值范围内（n≤10^18）的问题。通过建立递推式并将其转换为矩阵形式，利用快速幂加速计算过程，最终求得问题解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题解

dp递推式列出来后表示成转移矩阵，对于每一位数左移位数不同时逐次处理即可。 $n\leq 10^{18}$ ，最多算18次。

代码

#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n,pow[20];int mod,l;
struct mat{
    int a[5][5];
    inline void itia(){
        for(int j,i=1;i<=3;++i)
        for(j=1;j<=3;++j)
          a[i][j]=0;
    }
    inline void ori(){
        for(int i=1;i<=3;++i) a[i][i]=1;
    }
}A,B,C,ty;  

mat mul(mat x,mat y){
    ty.itia();
    for(int k,j,i=1;i<=3;++i)
        for(j=1;j<=3;++j)
         for(k=1;k<=3;++k)
           ty.a[i][j]=(ty.a[i][j]+1ll*x.a[i][k]*y.a[k][j]%mod)%mod;
    return ty;
}

mat fp(mat x,ll b){
    mat ret;ret.itia();ret.ori();
    while(b){
            if(b&1) ret=mul(ret,x);
            x=mul(x,x);
            b>>=1;
    }
        return ret;
}

int main(){
    int i,j;
    pow[0]=1;for(i=1;i<=18;++i) pow[i]=pow[i-1]*10;
    scanf("%lld%d",&n,&mod);
    A.itia();A.a[1][1]=1%mod;A.a[1][2]=A.a[1][3]=1;
    for(ll temp=n/10;temp;temp/=10) l++;
    B.itia();B.a[2][1]=B.a[2][2]=1;
    for(i=1;i<=3;++i) B.a[3][i]=1;
    for(i=0;i<l;++i){
        B.a[1][1]=pow[i+1]%mod;
        if(!i)A=mul(A,fp(B,8));
        else A=mul(A,fp(B,pow[i+1]-pow[i]));
    }
    B.a[1][1]=pow[l+1]%mod;
    if(l)A=mul(A,fp(B,n-pow[l]+1));
    else A=mul(A,fp(B,n-1));
    printf("%d\n",A.a[1][1]);
}