38、整数空间中的圆形和球形传播及数字化组合研究

整数空间中的圆形和球形传播及数字化组合研究

1. 前沿传播与相关定理

在整数空间里，前沿传播是一个关键概念，这里的“前沿”指的是体素集的边界，通常是实心数字球体或多个此类球体的并集。为了实现前沿传播，提出了一种增量算法，该算法利用半径稍小的球体或圆的体素集来生成半径更大的球体或圆。

1.1 相关集合关系证明

从定义 2、观察 3 和引理 3 可得：
[
\begin{align }
S(r) &= F(r) \cup S(r) \cup \chi(r)\
&= F(r) \cup S(r)\
&= {p \in Z^3 : (r - 1)^2 + \lambda \leq s < r^2 - \lambda} \cup {p \in Z^3 : r^2 - \lambda \leq s < r^2 + \lambda}\
&= {p \in Z^3 : ((r - 1)^2 + \lambda \leq s < r^2 - \lambda) \vee (r^2 - \lambda \leq s < r^2 + \lambda)}\
&= {p \in Z^3 : (r - 1)^2 + \lambda \leq s < r^2 + \lambda}
\end{align }
]

1.2 增量算法分析

考虑 (S_1(r - 1))，它在 (xy) 平面上具有功能性。对于每一对 ((i, j))，在 (S_1(r)) 中，如果 ((i, j, k + 1)) 不是填充体素，(k) 值增加 1；否则增加 2。基于此观察，先将每对 ((i, j)) 的 (k) 值增加 1，生成一个新的体素集 (\Gamma)，它包含 (F_1(r)) 中除 (j = k) 之外的所有体素。

接着，遍历填充体素的圆，如果 ((i, j, k)) 是填充体素，则将体素 ((i, j, k + 1))（若 (j = k)，则同时添加 ((i, j, k + 1)) 和 ((i, j, k))）添加到 (\Gamma) 中。此时，(\Gamma) 中的体素 ((i, j, k)) 满足 ((i, j, k - 1) \in S_1(r)) 或 ((i, j, k - 1) \in F_1(r))。但形式为 ((i, k, k)) 的体素尚未添加到 (\Gamma) 中。

观察 4 指出，(S(r)) 的八分体边界体素集为 (B(r) = {p \in Z^3 : r^2 - \lambda \leq s < r^2 + \lambda \wedge (\mu = \lambda)})，其中 (p = (i, j, k))，(s = i^2 + j^2 + k^2)，(\lambda = \max{|i|, |j|, |k|})。

定理 2 表明，半径为 (r) 的空间填充数字球体的第一个 (q) 八分体为：
[
S_1(r) = {(i, j, k) \in Z^3 : (i, j, k - 1) \in S_1(r - 1) \vee (i, j, k - 1) \in F_1(r) \vee (j = k \wedge (i, j, k) \in F_1(r)) \vee (i, j, k) \in B_1(r)}
]

2. 球形传播

球形传播算法利用填充体素和八分体边界体素的特征，高效地生成连续的空间填充球体。为了简化算法描述，引入了轴平行 2 - 邻域的概念：
[
N^{(2)}(p, l) = {q \in Z^3 : (d_x(p, q) + d_y(p, q) + d_z(p, q)) = d_{\perp}(p, q) \leq l}
]
其中 (d_x(p, q))、(d_y(p, q)) 和 (d_z(p, q)) 分别表示点 (p) 和 (q) 沿 (x)、(y) 和 (z) 轴的轴平行距离，(d_{\perp}(p, q)) 表示等距距离。

从空间填充数字球体的分析可知，要添加到 (S^ (r)) 中的任何新体素都落在 (S^ (r - 1)) 表面上某个体素 (p) 的 (N^{(2)}(p, 2)) 内。而 (S^ (r - 1)) 表面上的体素就是 (S(r - 1)) 的体素，可通过检查体素 (p) 的 (N^{(2)}(p, 1)) 内的体素是否已包含在 (S^ (r)) 中来找到。

以下是球形传播的算法：

算法 1. 球形传播
输入: \(S^*(r - 1)\)，\(r\)
输出: \(S^*(r)\)
1. \(A \leftarrow S^*(r - 1)\)，\(B \leftarrow \varnothing\)
2. 对于 \((p \in A) \land (q \in N^{(2)}(p, 1)) \land (q \notin A)\) 执行
3.     \(B \leftarrow B \cup p\)
4. 结束
5. 对于 \((p \in B) \land (q \in N^{(2)}(p, 2)) \land (q \notin A)\) 执行
6.     如果 \(q \in S(r)\) 则
7.         \(A \leftarrow A \cup q\)
8.     结束
9. 结束
10. 返回 \(A\)

该算法的流程可通过以下 mermaid 流程图表示：

graph TD;
    A[开始] --> B[初始化 A = S*(r - 1), B = 空集];
    B --> C[遍历 A 中的 p];
    C --> D{q 在 N(2)(p, 1) 且 q 不在 A 中};
    D -- 是 --> E[B = B 并 {p}];
    D -- 否 --> C;
    E --> F[遍历 B 中的 p];
    F --> G{q 在 N(2)(p, 2) 且 q 不在 A 中};
    G -- 是 --> H{q 在 S(r) 中};
    H -- 是 --> I[A = A 并 {q}];
    H -- 否 --> F;
    G -- 否 --> F;
    I --> J[返回 A];
    J --> K[结束];

3. 圆形传播

空间填充数字球体的特征也可用于 3D 数字平面上的圆形传播。在进行圆形传播时，除了检查体素是否属于空间填充数字球体，还需检查其是否属于给定的数字平面。为此，定义了轴平行 0 - 邻域：
[
N^{(0)}(p, l) = {q \in Z^3 : d_{\perp}(p, q) \leq l}
]

以下是圆形传播的算法：

算法 2. 圆形传播
输入: \(C^*(r - 1)\)，\(r\)，\(P\)
输出: \(C^*(r)\)
1. \(A \leftarrow C^*(r - 1)\)，\(B \leftarrow \varnothing\)
2. 对于 \((p \in A) \land (q \in N^{(0)}(p, 1)) \land (q \in P) \land (q \notin A)\) 执行
3.     \(B \leftarrow B \cup p\)
4. 结束
5. 对于 \((p \in B) \land (q \in N^{(0)}(p, 2)) \land (q \in P) \land (q \notin A)\) 执行
6.     如果 \(q \in S(r)\) 则
7.         \(A \leftarrow A \cup q\)
8.     结束
9. 结束
10. 返回 \(A\)

该算法的步骤可总结如下：
1. 初始化 (A) 为 (C^ (r - 1))，(B) 为空集。
2. 遍历 (A) 中的体素 (p)，找到满足条件的 (q) 并添加到 (B) 中。
3. 遍历 (B) 中的体素 (p)，找到满足条件的 (q)，若 (q) 属于 (S(r)) 则添加到 (A) 中。
4. 返回更新后的 (A) 作为 (C^ (r))。

4. 测试结果与应用

通过上述的球形和圆形传播技术，可以从给定的种子点集生成数字 Voronoi 图。Voronoi 图是将空间划分为多个区域的一种方式，每个区域由距离特定种子点比其他种子点更近的所有点组成。对于给定的距离度量 (d)，对应于种子 (p_i)（(1 \leq i \leq n)）的 Voronoi 区域 (R_i) 定义为：
[
R_i = {q : d(q, p_i) \leq d(q, p_j) \quad \forall j = 1, 2, \ldots, n}
]

在 3D 空间中进行球形传播和在 3D 离散平面上进行圆形传播的测试结果表明，使用算法 1 和算法 2 可以并行地扩展所有种子的 Voronoi 区域。这种并行和增量的区域扩展算法可用于生成 Voronoi 区域的边界，即球体或圆相交的地方。

例如，在图 3 中展示了在受限 3D 空间中进行 Voronoi 图的球形传播过程：
| 阶段 | 描述 |
| ---- | ---- |
| (a) | 种子点 |
| (b) | 迭代 3 次后 |
| (c) | 迭代 7 次后 |
| (d) | 迭代 10 次后 |

在图 4 中展示了在离散平面上进行 Voronoi 图的圆形传播过程：
| 阶段 | 描述 |
| ---- | ---- |
| (a) | 种子点 |
| (b) | 迭代 4 次后 |
| (c) | 迭代 9 次后 |
| (d) | 迭代 19 次后 |

整数空间中的圆形和球形传播及数字化组合研究

5. 数字化组合研究：平移对物体数字化的影响

当对连续物体进行数字化之前进行平移操作时，会产生多个数字化结果。研究聚焦于这些数字化结果的组合情况，特别是通过一种称为“对偶”的概念来关联平移参数和产生的数字化结果。

5.1 研究背景

对于给定的网格步长和数字化方法，平面物体在网格上的位置不同会产生不同的数字化结果，物体的数字属性和估计特征也会随之变化。因此，研究数字化的可变性在图像分析中至关重要。

已有研究探索了一些几何基元的数字化情况，如直线段数字化集与线段斜率和偏移的关系，圆盘数字化集与半径和中心位置的关系，以及严格凸集的组合情况。在之前的研究中，引入了“对偶”函数来研究平面物体在平移下的数字化集，该函数被证明是关于平移的分段常数函数。

5.2 相关定义和概念

考虑一个边界为简单闭合（Jordan）曲线 (\Gamma) 的连通紧集 (S)，可以通过一个连续映射 (f: R^2 \to R) 隐式定义 (\Gamma) 和 (S)：
(\Gamma = {f(x) = 0 | x \in R^2})
(S = {x \in R^2 | f(x) \leq 0})

研究关注高斯数字化在平移群作用于 (S) 时的可变性，即集合 ((u + S) \cap Z^2)（(u \in R^2)）。为了研究这种可变性，定义了“对偶”函数 (\phi_S)，它是一个定义在环面 (T = R^2 / Z^2) 上的集值函数，将环面上的每个点 (t) 映射到 (u + S) 的数字化结果（忽略整数平移），其中 (u) 是 (t) 在 (R^2) 中的任意代表。

为了简化表示，将 (t \in T) 与其在结构元素 (M) 中的代表进行等同，将 (Z^2) 的子集与其在整数平移作用下的轨道进行等同，因此可以写成 (\phi_S(t) = (t + S) \cap Z^2)。

定义网格边界 (B) 为 (S) 的边界 (\Gamma) 与结构元素 (M) 的形态学膨胀和 (Z^2) 的交集：
(B = (\Gamma \oplus M) \cap Z^2)
其中 (\oplus) 表示闵可夫斯基和。网格边界 (B) 包含了所有当 (S) 被向量 (u \in M) 平移时，其在数字化结果中的成员资格可能发生变化的 (Z^2) 中的点。

然而，由于 (R^2) 是连通的，(M) 不是开集，所以 (B) 中可能存在一些点的成员资格不会改变，因此定义了切换边界 (B’) 为 (B) 中那些成员资格确实会因平移而改变的点的集合：
(B’ = B \setminus {p \in Z^2 | p + C \subseteq S})
其中 (C) 是 (M) 关于原点的对称集。

集合 (S \cap Z^2 \setminus B’) 称为数字化核心，包含了在所有 (u \in M) 的平移下，始终属于 (u + S) 数字化结果的网格点。

对于任意 (p \in Z^2)，定义 (\Gamma_p = -p + (\Gamma \cap (p + C)) = (-p + \Gamma) \cap C)，并定义指示函数 (1_{lp}) 为 (\Gamma_p) 的指示函数。则 (\phi_S(t) = {p \in Z^2 | 1_{lp}(-t) = 1})。

5.3 数字化数量的上界

给出了平面物体（边界为 Jordan 曲线）数字化数量的两个上界：
- 第一个上界 ：由于网格边界 (B) 包含了所有成员资格可能改变的整数点，所以数字化数量的一个明显上界是 (2^{|B|})，其中 (|B|) 也是边界 (\Gamma) 穿过的网格单元数量。
- 第二个上界 ：通过将数字化数量与平移曲线 (\Gamma_p) 的交点数量联系起来，在环面 (T) 上绘制边界 (\Gamma) 时，对偶函数会诱导环面的一个划分，其单元格边界是 (\text{proj}(\Gamma)) 的弧。通过计算 (\text{proj}(\Gamma)) 中的曲线交点数量，可以得到划分大小的上界。在凸情况下，这个上界被证明是二次的。

以下是这两个上界的对比表格：
| 上界类型 | 表达式 | 说明 |
| ---- | ---- | ---- |
| 第一个上界 | (2^{|B|}) | 基于边界穿过的网格单元数量 |
| 第二个上界 | （凸情况下为二次） | 基于环面上边界曲线的交点数量 |

6. 总结与展望

本文提出了一种空间填充数字球体模型，可用于在数字空间中高效传播球形或圆形前沿。通过理论分析和特征刻画，给出了球形和圆形传播的算法，并通过测试结果展示了这些算法在生成数字 Voronoi 图中的应用。

在数字化组合研究方面，探讨了平移对平面物体数字化的影响，给出了数字化数量的两个上界，并在凸情况下进行了分析。

未来的研究方向包括：
- 进一步研究 Voronoi 区域的数字凸性等问题。
- 在实际应用中，如离散 3D 地形处理中，寻找合适的距离度量来构建定义良好的 Voronoi 图。
- 深入研究数字化组合的更多性质和应用，如在图像分析和计算机图形学中的潜在应用。

下面是研究内容的 mermaid 流程图，展示了整体的研究框架和流程：

graph LR;
    A[前沿传播研究] --> B[球形传播算法];
    A --> C[圆形传播算法];
    B --> D[生成数字 Voronoi 图（3D 空间）];
    C --> E[生成数字 Voronoi 图（3D 离散平面）];
    F[数字化组合研究] --> G[定义相关概念];
    G --> H[给出数字化数量上界];
    H --> I[凸情况分析];
    D --> J[实际应用探索];
    E --> J;
    I --> J;