37、图像距离变换与空间填充数字球体算法解析

图像距离变换与空间填充数字球体算法解析

布尔映射距离（BMD）相关研究

在图像领域，布尔映射距离（BMD）是一种用于衡量图像元素间距离的伪度量。它基于图像经随机阈值处理后，元素属于不同连通分量的概率来计算距离。

1. 蒙特卡罗近似法计算BMD距离变换
   • 为了平衡迭代次数和近似误差，采用蒙特卡罗近似法计算“Cameraman”图像的近似BMD距离变换。从图中指定的单个种子点开始，进行不同次数的迭代。
   • 将每次结果与使用Dijkstra算法计算的真实距离变换进行比较。图2（左）展示了每个像素的平均误差与迭代次数的关系。由于算法的随机性，平均误差本身存在噪声，因此图中展示的是每个样本数量下重复实验20次得到的平均误差。结果表明，要获得准确的近似值，需要大量的样本。
2. Zhang - Sclaroff算法与Dijkstra算法对比
   • 这两种算法都具有线性时间复杂度，但涉及的常数差异很大。
   • 为了进行实证比较，对“Cameraman”图像进行双三次插值缩放至不同大小，然后分别使用这两种算法计算距离变换。图像的灰度级以8位整数存储，因此Zhang - Sclaroff算法中取k = 256。在所有情况下，种子点都放在图像的左上角。
   • 图2（右）显示了运行时间。两种算法都呈现出图像大小和运行时间的线性关系，但基于Dijkstra算法的方法速度大约快30 - 40倍。

算法	时间复杂度	速度对比
Zhang - Sclaroff算法	线性	比Dijkstra算法慢约30 - 40倍
Dijkstra算法	线性	速度较快

3. BMD扩展到多通道图像
   • 为了将BMD扩展到多通道图像，创建布尔映射的步骤如下：
     1. 根据图像通道集合上的某种概率分布，随机选择一个图像通道。
     2. 从[0, 1]的均匀分布中随机选择一个阈值，并将所选图像通道在该值处进行阈值处理。
   • 具有m个通道的图像中，两个像素之间的多通道BMD定义为它们属于通过上述过程获得的布尔映射的不同连通分量的概率。计算公式为：
     [BMD(p, q) = w_1BMD_1(p, q) + w_2BMD_2(p, q) + \cdots + w_mBMD_m(p, q)]
     其中，(w_i)表示选择通道i的概率，(BMD_i)表示在通道i上定义的单通道BMD。例如，可以选择(w_i = 1/m)，对于所有(i \in {1, 2, \cdots, m})。
   • 图3展示了在彩色图像上计算多通道BMD距离变换的示例。与单通道距离变换相比，多通道BMD距离变换能更好地捕捉花朵与背景之间的对比度。

graph LR
    A[随机选择图像通道] --> B[随机选择阈值]
    B --> C[对所选通道进行阈值处理]
    C --> D[计算多通道BMD]

整数空间中圆形和球形传播的增量算法

在科学计算中，空间填充曲线和表面有很多应用，特别是在空间被离散化的情况下。在数字几何中，通常涉及二维的各向同性像素和三维的各向同性体素。这里主要关注离散三维空间或离散三维平面的球形和圆形填充问题。

1. 现有技术及问题
   • 文献中存在一些相关技术，如采用行进球体方法计算壁面距离，使用修改后的中点圆算法生成球体，但所采用的数字球体模型仅符合16对称性，在不同坐标下不均匀。
   • 在球形传播过程中，间隙或缺失体素是关键问题，需要高效解决。已有一些关于数字空间中同心圆和球体间缺失体素特征化的工作，以及使用分层方法生成无间隙实心球体的报道，但这些方法并不适用于球形传播。
2. 研究贡献
   • 整数半径和整数中心的朴素球体是2 - 最小且唯一的，由48个对称部分（称为q - 八分体）组成，每个部分都有明确的功能平面，因此可以高效构建。但它不是空间填充的，不能直接用于整数空间中的球形或圆形传播。
   • 为了解决这个问题，展示了如何将2 - 最小的朴素球体扩展为空间填充数字球体。通过利用朴素球体的数论性质，对连续两个朴素球体之间的体素进行特征化。
   • 设计了一种增量算法，利用当前实心球体通过简单的整数运算构建下一个实心球体，从而实现三维空间中的球形传播和任何三维数字平面上的圆形传播，并通过实验结果证明了其有效性。

符号	含义
S(r)	半径为r的真实球体
S(r)	半径为r的朴素球体
S(r)	半径为r的（各向同性）1/2偏移数字球体
S(r)	半径为r的空间填充数字球体
S∗(r)	半径为r的实心数字球体
χ(r)	对应于S(r)的简单体素集合
F(r)	S(r)和S(r + 1)之间的填充体素集合
B(r)	S(r)的八分体间边界体素集合

图像距离变换与空间填充数字球体算法解析

空间填充数字球体的构建

在数字空间中，有多种用于表示几何对象的离散化模型，不同模型各有优劣。对于球体而言，其常见的离散化模型包括朴素、标准、超覆盖、算术和τ - 偏移等。

1. 不同离散化模型分析
   • 标准和超覆盖模型在连续整数半径的球体表示中会产生重叠，不利于空间填充的计算。
   • τ - 偏移模型在欧几里得度量空间中，随着τ值的变化会产生不同的模型。
   • 算术球体与1/2偏移球体相同，能为连续半径生成不同的体素集，但由于其适用于实数域，构建算法的计算量较大。例如，在半径为95时，算术球体的整数算法计算时间约为2.2ms，而后续介绍的算法仅需0.8ms。
   • 朴素球体的构建基于简单的整数运算，如加法、增量和比较，无需乘法或除法，计算效率高。然而，由于其2 - 最小性，连续的朴素球体无法实现空间填充，但可以通过添加必要的填充体素来解决。

离散化模型	特点
标准和超覆盖模型	连续半径球体有重叠，不利于空间填充计算
τ - 偏移模型	随τ值变化产生不同模型
算术球体	与1/2偏移球体相同，构建算法计算量大
朴素球体	计算高效，但非空间填充

2. 朴素球体的性质

   • 设S(r)表示半径为r的朴素球体，S1(r)表示其第一个q - 八分体（0 ⩽ x ⩽ y ⩽ z ⩽ r）。朴素球体S(r)是三维整数点（即体素）的不可约2 - 分离集，且使(\max_{p\in S(r)} d_{\perp}(p, S(r)))最小化。其封闭形式定义为：
     [S(r) = {p \in Z^3 : \sqrt{r^2 - \lambda} \leqslant s < r^2 + \lambda } \land { (s \neq r^2 + \lambda - 1) \lor (\mu \neq \lambda) }]
     其中，(p = (i, j, k))，(s = i^2 + j^2 + k^2)，(\lambda = \max{|i|, |j|, |k|})，(\mu = \text{med}{|i|, |j|, |k|})。
   • 由上述定义可知，朴素球体不是空间填充的。相邻朴素球体之间存在不属于任何朴素球体的体素，可分为简单体素和填充体素。简单体素集合(\chi(r))定义为：
     [\chi(r) = {p \in Z^3 : s = r^2 + \lambda - 1 \land (\mu = \lambda) }]

3. 空间填充数字球体的定义与性质

   • 定义半径为r的（各向同性）1/2偏移数字球体S(r)为与S(r)的各向同性距离至多为1/2的体素集合，即：
     [S(r) = {p \in Z^3 : r^2 - \lambda \leqslant s < r^2 + \lambda }]
   • S(r)和S(r + 1)之间除(\chi(r))外的体素构成填充体素集合F(r)，定义为：
     [F(r) = {p \in Z^3 : (r - 1)^2 + \lambda \leqslant s < r^2 - \lambda }]
   • 填充体素具有以下性质：
     • 性质1 ：对于F1(r)中的任何体素，有(j + k \geqslant r)。
     • 性质2 ：F1(r)中的填充体素在xy - 平面和xz - 平面上是功能的。
     • 性质3 ：F1(r)中的填充体素遵循圆形路径。
   • 基于上述性质，定义空间填充数字球体S(r)为：
     [S(r) := S(r) \cup F(r) \cup \chi(r) = S(r) \cup F(r) = {p \in Z^3 : (r - 1)^2 + \lambda \leqslant s < r^2 + \lambda }]

graph LR
    A[朴素球体S(r)] --> B[简单体素集合χ(r)]
    A --> C[填充体素集合F(r)]
    B --> D[1/2偏移数字球体S(r)]
    C --> D
    D --> E[空间填充数字球体S(r)]

总结

布尔映射距离（BMD）在图像距离计算中具有重要应用，蒙特卡罗近似法在计算BMD距离变换时需要大量样本以获得准确近似，而Dijkstra算法在计算效率上明显优于Zhang - Sclaroff算法。在多通道图像中，通过特定的布尔映射创建步骤和加权平均方法可以计算多通道BMD距离变换，能更好地捕捉图像的对比度。

在整数空间的球形和圆形传播方面，现有的数字球体离散化模型各有不足，而朴素球体虽然计算高效但非空间填充。通过对朴素球体的扩展，利用其数论性质对简单体素和填充体素进行特征化，成功定义了空间填充数字球体，并设计了增量算法实现了高效的球形和圆形传播，这对于三维数字空间中的Voronoi图计算等应用具有重要意义。