转一个quaternion基础的

最新推荐文章于 2025-03-12 15:07:53 发布
转载 最新推荐文章于 2025-03-12 15:07:53 发布 · 501 阅读 · 0

转自 http://www.cnblogs.com/kfqcome/archive/2011/08/17/2143289.html

 

一．四元组基础

Q(x,y,z,w)，其中x，y，z用来确定旋转轴，w为旋转的角度

Q=w+xi+yj+zk，i，j，k为三个虚轴的单位分量

I*j=k

J*k=i;

K*i=j;

叉乘：

c=a × b= 

| i     j     k| 
|a1  b1  c1| 
|a2  b2  c2| 
=(b1c2-b2c1,c1a2-a1c2,a1b2-a2b1)

c也为一个向量，且c的长度为|a||b|sin(theta)，垂直于a和b所在的平面，方向由右手法则来判定，用右手的四指先表示向量a的方向，然后手指朝着手心的方向摆动到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c的方向

 

 

1．  四元组相乘：

Q1=w1+x1i+y1j+z1k=(w1,v1)

Q2=w2+x2i+y2j+z2k=(w2,v2)

Q1*Q2=(w1*w2-<v1,v2>,w1*v2+w2*v1+v1xv2)

( w1+x1i+y1j+z1k)*( w2+x2i+y2j+z2k)

 =w1*w2-x1*x2-y1*y2-z1*z2+

  (W1*x2+x1*w2+y1*z2-z1-y2)i+

(y1*w2+w1*y2+z1*x2-x1*z2)j+

(w1*z2+z1*w2+x1*y2-y1*x2)k

         对于其中的轴部分，假如v1//v2，则有v1 x v2=0（平行向量的叉乘结果为0）

2．  四元组的点乘，点乘积为数值：

Q1.*Q2=w1*w2+<v1,v2>=w1*w2+x1*x2+y1*y2+z1*z2;

3．  数乘

         s为一实数，q为四元组，则有sq=qs

4．  共轭

p=(w,v)，则p*=(w,-v)

 

(pq)*=q*p*

 

N(q)=w2+x2+y2+z2

q-1=q*/N(q)---------------à显然可得qq-1=(1,0)

 

 

二．使用四元数旋转向量

假如有一表示向量的四元组q=(w,v)，对其应用旋转量p后的结果为：

        q’=pqp-1=(w,v’)

从上可以看出，计算的结果q’的实部和q的实部是相等的，并且有N(v)=N(v’)

 

如果N(q)=1，则可以令q=(cosa,usina)，u也为一个单位向量，则q’是q绕u旋转2a个弧度的结果

 

假如S(q)表示q的实部，则有2S(q)=q+q*

 

2S(pqp-1)= pqp-1+( pqp-1)*=pqp*+(pqp*)*=pqp*+pq*p*=p(q+q*)p*=2S(q)

（这里由于p是单位四元数，所以有p-1等于p*）

 

 

 

欧拉角到四元数的转换

 定义pitch, yaw, roll分别为绕X轴、Y轴、Z轴的旋转弧度

float p = pitch * PIOVER180 / 2.0;

    float y = yaw * PIOVER180 / 2.0;

    float r = roll * PIOVER180 / 2.0;

 

    float sinp = sin(p);

    float siny = sin(y);

    float sinr = sin(r);

    float cosp = cos(p);

    float cosy = cos(y);

    float cosr = cos(r);

 

    this->x = sinr * cosp * cosy - cosr * sinp * siny;

    this->y = cosr * sinp * cosy + sinr * cosp * siny;

    this->z = cosr * cosp * siny - sinr * sinp * cosy;

    this->w = cosr * cosp * cosy + sinr * sinp * siny; 

 

    normalise();

 

三．使用matlab进行相关计算

 

计算两个向量v1和v2之间的旋转量四元数p，使得v1应用p后到达v2

 

假如v1转到v2的旋转轴为v，旋转角为theta，则q=[v*cos(theta/2)  sin(theta/2)]

Matlab代码：

function q=vector2q(v1,v2)

%..normalize....

len1=sqrt(v1*v1');

len2=sqrt(v2*v2');

v1=v1/len1;

v2=v2/len2;

angle=v1*v2';

axis=cross(v1,v2);

alen=sqrt(axis*axis');

axis=axis/alen;

t=acos(angle);

t=t/2;

q(1)=axis(1)*sin(t);

q(2)=axis(2)*sin(t);

q(3)=axis(3)*sin(t);

q(4)=cos(t);

 

end

 

 

 

 

计算出了q之后，可以获得对应的旋转矩阵，旋转矩阵的计算

Matlab里面的矩阵是以列为主顺序的

function r=q2rot(q)

w=q(4);

x=q(1);

y=q(2);

z=q(3);

 

r=zeros(3,3);

r(1,1)=1-2*y*y-2*z*z;

r(1,2)=2*x*y+2*w*z;

r(1,3)=2*x*z-2*w*y;

 

r(2,1)=2*x*y-2*w*z;

r(2,2)=1-2*x*x-2*z*z;

r(2,3)=2*z*y+2*w*x;

 

r(3,1)=2*x*z+2*w*y;

r(3,2)=2*y*z-2*w*x;

r(3,3)=1-2*x*x-2*y*y;

r=r';

end

  

同时，也可以根据四元数来计算欧拉角

 

function R=q2euler(q)

w=q(4);

x=q(1);

y=q(2);

z=q(3);

 

t11=2*(w*x+y*z);

t12=1-2*(x*x+y*y);

R(1)=atan2(t11,t12);

 

t2=2*(w*y-z*x);

R(2)=asin(t2);

 

t31=2*(w*z+x*y);

t32=1-2*(y*y+z*z);

R(3)=atan2(t31,t32);

 

end

计算出来的欧拉角rx，ry，rz，分别为绕X轴、Y轴和Z轴的旋转角，假如有：

Rotq=q2rot(q)

R=q2euler(q)

[rotx roty rotz]=Rotation(R)

 

可以发现Rotq==rotz*roty*rotx

从这里可以看出，上面使用四元数这样计算出来的旋转矩阵的旋转顺序分别是X轴、Y轴和Z轴的

 

ra=pi/4;

qz=[0 0 -sin(ra) cos(ra)]  %绕z旋转-90度

qy=[0 sin(ra) 0 cos(ra) ]  %绕y旋转90度

 

qyz=qmult(qy,qz)

r=q2euler(qyz)

上面的r得出的结果为

r = -1.5708    0.0000   -1.5708

也就是说其几何意义变成先绕X轴旋转-90度，再绕Z轴旋转-90度，而根据qy和qz的相乘我们实际进行的操作却是先绕Z轴旋转-90度，再绕Y轴旋转90度，但是结果却是这两种操作等价，这说明由四元数到欧拉角可以有多个解

 

两个四元数，假如它们的方向是相反的，用它们作用于向量得到的新向量的值仍然相等

q1=[0.024666 -0.023954 0.504727 0.862594];

arm=[-8.881719 6.037597 -2.36776];

q2=-q1;

rot1=q2rot(q1);

rot2=q2rot(q2);

v1=rot1*arm'

v2=rot2*arm'

 

上面计算出来的v1等于v2

 

 

四元数的余弦值为它们的内积

假如余弦值小于0，则需要将其中的一个取反，因为上面我们知道一个四元数和它的反方向的四元数对一个向量起相同的作用

 

 

四元数的相乘，代表旋转的累积

pq=p*q;

rotp=q2rot(p);

rotq=q2rot(q);

rotpq=q2rot(pq);

rotmul=rotp*rotq;

 

这里rotpq与rotmul相等

 

 

四． OGRE中Quaternion类的几个函数

 

1.       四元数到旋转向量

void Quaternion::ToRotationMatrix (Matrix3& kRot) const

1 - 2*qy2 - 2*qz2

2*qx*qy - 2*qz*qw

2*qx*qz + 2*qy*qw

2*qx*qy + 2*qz*qw

1 - 2*qx2 - 2*qz2

2*qy*qz - 2*qx*qw

2*qx*qz - 2*qy*qw

2*qy*qz + 2*qx*qw

1 - 2*qx2 - 2*qy2

 

2.       旋转量到四元数

根据1中的表格，有：

4 *(1-qx2-qy2-qz2) = 1 + m00 + m11 + m22

又qw2=1-qx2-qy2-qz2，可得

4 *qw2= 1 + m00 + m11 + m22

这里解qw必须保证1 + m00 + m11 + m22>=0，如果不是的话，就构造其他的等式来计算，OGRE中分成两种情况，一种是m00 + m11 + m22>=0，就可以直接先解出qw，否则的采用另外的等式计算

 

3．Local axis

Vector3 xAixs(void) const;

取得旋转矩阵的第一列，旋转矩阵和一个向量相乘的话，第一列的数据均和向量的x分量相乘

Vecotr3 yAxis(void) const;

取得旋转矩阵的第二列，旋转矩阵和一个向量相乘的话，第二列的数据均和向量的y分量相乘

Vecotr3 zAxis(void) const;

取得旋转矩阵的第三列，旋转矩阵和一个向量相乘的话，第三列的数据均和向量的z分量相乘

 

 

 

【一步步学OpenGL 15】 -《相机控制2(鼠标事件)》
Mr_厚厚的博客
10-09 6294
教程15相机控制2（鼠标事件）原文： http://ogldev.atspace.co.uk/www/tutorial15/tutorial15.html* 优快云完整版专栏： * http://blog.youkuaiyun.com/column/details/13062.html背景在这个教程我们将实现鼠标控制相机的方向，从而完成所有有关相机的部分。对于相机的设计有很多不同程度的自由度设置，我们要完成的
【零基础入门unity游戏开发——进阶篇】物体的旋转——欧拉角（Euler Angles）和 Quaternion四元数
向宇
02-05 2533
【零基础入门unity游戏开发——进阶篇】物体的旋转——欧拉角（Euler Angles）和 Quaternion四元数
旋转矩阵与四元数互算
04-23
旋转矩阵R通常是3x3的形式,具有inv(R)=trans(R)的性质,即R的逆就是R的转置。 描述旋转还可有另外一组实数来表示，就是四元素。本案记四元数Q[0]-Q[3],其中Q[0]与旋转的幅度有关，其余三数与旋转轴有关。本例子给出了四元数与欧拉角以及与旋转矩阵互换的代码。希望对各位有用。
【机器人学】四元数与旋转矩阵的相互转换
木小易的博客
05-23 1万+
1. 从四元数到旋转矩阵 为了将角位移从四元数形式转换到矩阵形式，可以利用以下矩阵，它能计算绕任意轴的旋转： R(n,θ)=[p′q′r′]=[nx2(1−cosθ)+cosθnxny(1−cosθ)+nzsinθnxnz(1−cosθ)+nysinθnxny(1−cosθ)−nzsinθny2(1−cosθ)+cosθnynz(1−cosθ)+nxsinθnxnz(1−cosθ)+nysinθnynz(1−cosθ)−nxsinθnz2(1−cosθ)+cosθ](1) R(n,\theta)= \be
四元数与旋转
weixin_30951743的博客
08-17 465
一．四元组基础 Q(x,y,z,w)，其中x，y，z用来确定旋转轴，w为旋转的角度 Q=w+xi+yj+zk，i，j，k为三个虚轴的单位分量 I*j=k J*k=i; K*i=j; 叉乘： c=a × b= | i j k||a1 b1 c1||a2 b2 c2|=(b1c2-b2c1,c1a2-a1c2,a1b2-a2b1) c也...
旋转矩阵与四元数
黄金之心
03-26 2058
旋转矩阵与四元数另一个 Blog 地址：http://insaneguy.me 原文链接：http://insaneguy.me/2015/03/25/rotation_matrix_and_quaternions/在计算机图形学的学习中，几何变换（Transformations）是一块重要的内容，我们使用齐次坐标（Homogeneous coordinates）描述点和向量，使用变换矩阵描述平移
精选资源
四元数quaternion
01-05
假设复数\(z = x + yi\)代表一个二维平面上的点，而另一个复数\(q = \cos\theta + i\sin\theta\)代表了一个旋转角度为\(\theta\)的操作。则\(qz\)即为原始点\(z\)绕原点逆时针旋转\(\theta\)度后的结果。 #### 三、...
quaternion.pdf
04-04
因为3D空间还是在我们理解范围之内的，所以四元数与三维旋转的一 些关系可以直接使用一些基础的几何学和线性代数的知识来推导和理解，并不会那 么复杂．我们在大部分的时间中也会采用这一方式来理解四元数，如果你对...
Quaternion toolbox
03-21
总之，Quaternion Toolbox是一个强大的工具，它简化了四元数的计算和应用，使得复杂的3D旋转操作变得简单易行。对于那些需要处理三维空间旋转和变换的工程师和研究人员来说，这是一个不可多得的资源。
四元数和旋转矩阵
05-20 3万+
Quaternion(四元数) Quaternion 的定义 四元数一般定义如下：     q=w+xi+yj+zk 其中 w,x,y,z是实数。同时，有:     i*i=-1     j*j=-1     k*k=-1 四元数也可以表示为：     q=[w,v] 其中v=(x,y,z)是矢量，w是标量，虽然v是矢量，但不能简单的理解为3D空间的矢量，它是4维空间中的的
四元数(Quaternions)
02-15 1743
http://www.sineysoft.com/blog/post/Quaternions.html好吧，我必须承认到目前为止我还没有完全理解四元数，我一度把四元数理解为轴、角表示的4维向量，也就在下午我才从和同事的争辩中理解了四元数不完全是角、轴这么简单，为此写点心得给那些同我一样搞了2年3D游戏的还不清楚四元数的朋友。 为什么使用四元数为了回答这个问题，先来看看一般关于旋转（
四元数与旋转矩阵
gyxx1998的博客
08-12 3万+
01 什么是四元数 四元数——基本概念 https://zhuanlan.zhihu.com/p/27471300 四元数——旋转 https://zhuanlan.zhihu.com/p/27541307 02 四元数与旋转矩阵 这里主要参考的是 右手系转左手系、旋转矩阵转四元数、四元数的两种表达（Hamilton/JPL)（这篇文章很棒，需要认真看哦~） 网上关于四元数有左手右手两种表达方式，有些地方标明了是在什么坐标系下的公式，而大多数地方是没有的。 所以如果“四元数转旋转矩阵”和“旋转矩阵转四元
三维旋转——四元数
qq_41906863的博客
12-30 1728
四元数是一种高阶复数，刻画刚体绕任意轴的旋转，四元数q表示为： 其中，i，j，k满足： 由于i，j，k的性质和笛卡尔坐...
旋转矩阵，四元数，欧拉角，旋转向量(轴角)
weixin_30279751的博客
12-24 232
https://www.cnblogs.com/21207-iHome/p/6894128.html 转载于:https://www.cnblogs.com/defe-learn/p/10167269.html
【机器人-基础知识】欧拉角、旋转矩阵和四元数
欢迎来到我的博客～
03-12 6952
欧拉角是一组三个角度，用于描述一个刚体在三维空间中的定向关系。具体来说，它们表示从一个固定参考坐标系到刚体坐标系的一系列旋转。常见的定义方式是将总体旋转分解为三个连续的简单旋转，每次旋转都绕着当前坐标系的某一固定轴进行。例如，一种常用的欧拉角序列是 Z–Y–X（或称为航向、俯仰、滚转顺序），其含义如下：这种分解使得三维旋转问题转化为三个独立旋转角度的叠加。以 Z–Y–X 顺序为例，刚体总旋转矩阵 RRR 可以写成三个旋转矩阵的乘积：R=Rx(ϕ)  Ry(θ)  Rz(ψ) R = R_x(\phi) \;
利用四元数求解旋转矩阵
u013517182的博客
12-30 5220
利用四元数求解旋转矩阵绕空间某一旋转轴ω⃗ \vec{\omega}旋转θ\theta角度的表示形式如下图所示：OO表示坐标原点，OR→\vec{OR}表示原始向量，ω⃗ \vec{\omega}表示旋转轴，为单位矢量，平面vv表示垂直于ω⃗ \vec{\omega}并且包含向量R{R}的平面，OR→\vec{OR}围绕ω⃗ \vec{\omega}旋转θ\theta角度之后得到旋转之后的向量OR′
旋转矩阵与四元数的理解
知识搬运工的博客
01-11 1万+
旋转矩阵： 1.旋转矩阵是正交矩阵，矩阵的每一行每一列的模，都为1；并且任意两个列向量或者任意两个行向量都是正交的。 2. 矩阵的行列式为1。矩阵的逆和转置是相等的。         什么是旋转矩阵？如图1所示，我们假设最开始空间的坐标系，，就是笛卡尔坐标系，这样我们得到空间A的矩阵={，，}T，其实也可以看做是单位阵E。进过旋转后，空间A的三个坐标系变成了图1中红色的三个坐标系，，，得到空...
从四元数到旋转矩阵
热门推荐
loongkingwhat的博客
03-12 4万+
旋转矩阵和四元数都是描述三维空间中位姿的方式，此文将讨论如何从四元数计算出旋转。 背景介绍 旋转矩阵和四元数之间的变换需要依据以下公式1 公式1： 绕任意轴n旋转θ的旋转矩阵 公式1的具体推导过程可以参见知乎文章。 注意公式1中的基本条件：①旋转的正方向由左手法则判定 ②任意轴n处于左手坐标系中。 公式2： 绕任意轴n旋转θ的四元数 要想从四元数求得旋转矩阵，即需要用矩阵中的元素m11、m12...
【机器人】四元数与旋转矩阵的转换关系
好梦就会趁你睡醒实现
11-24 5611
导语：最近在项目上没有多大进展，就没得啥文章可写，这周末看了一下姿态轨迹规划的文章，对姿态的插补有点感兴趣，于是就先看看相关的文章，发现用四元数表示姿态然后来进行姿态的插补非常方便，这里对四元数与常规的旋转矩阵的转换做一下总结。 四元数转换为旋转矩阵 旋转矩阵转换为四元数 ...
locatedDevice没有这个quaternion
最新发布
12-02
<think> 我们之前提到`locatedDevice`可能是一个`THREE.Group`或`THREE.Object3D`，正常情况下应该具有`quaternion`属性。但是，如果确实没有，可能是因为： 1. 该对象尚未更新世界矩阵（即没有调用`updateMatrixWorld`）。 2. 该对象不是`THREE.Object3D`的实例。 3. 代码中可能使用了`rotation`属性但没有更新四元数。 在Three.js中，`Object3D`的旋转可以用`rotation`（欧拉角）或`quaternion`（四元数）表示。通常，我们设置`rotation`后，Three.js会自动更新`quaternion`。但是，为了避免问题，我们可以： - 确保在获取四元数之前更新物体的世界矩阵。 - 或者，如果物体没有四元数，我们可以从它的旋转矩阵中提取四元数。 不过，通常所有继承自`Object3D`的对象都有`quaternion`属性。如果确实没有，我们可以使用以下方法之一： 方法1：使用`rotation`属性重新计算一个四元数 方法2：强制更新物体的世界矩阵，然后获取其四元数 但请注意：直接使用物体的`quaternion`是最佳实践，因为它是自动维护的（除非你手动修改了矩阵而绕过了旋转和四元数）。 建议先检查`locatedDevice`是否是有效的`Object3D`，并确保场景已经更新。 如果问题仍然存在，我们可以这样处理： ```javascript const cameraMoveToDevice = (locatedDevice) => { // 确保物体更新了其世界变换 locatedDevice.updateMatrixWorld(true); // 获取物体的世界位置 const worldPosition = new THREE.Vector3(); locatedDevice.getWorldPosition(worldPosition); // 获取物体的世界四元数 const worldQuaternion = new THREE.Quaternion(); locatedDevice.getWorldQuaternion(worldQuaternion); // 计算旋转后物体的正面方向（局部X轴负方向） const frontDirection = new THREE.Vector3(-1, 0, 0); // 假设正面是X轴负方向 frontDirection.applyQuaternion(worldQuaternion); frontDirection.normalize(); // ... 剩余代码与之前相同 ... }; ``` ### 关键点： - 使用`updateMatrixWorld(true)`确保物体的世界矩阵（包括位置和旋转）是最新的。 - 使用`getWorldQuaternion`获取世界旋转的四元数，这样即使物体有父级的旋转也能正确计算。 ### 注意事项： - 如果物体是场景中的一部分，通常在渲染循环中会自动更新矩阵。但在动画中手动更新可以确保数据准确。 - 如果物体没有父级，则`getWorldQuaternion`返回的就是物体自身的四元数。 §§相关问题§§ 1. 为什么在Three.js中需要手动调用`updateMatrixWorld`？在什么情况下必须调用？ 2. 除了使用四元数，还有哪些方法可以计算3D物体旋转后的方向向量？ 3. 当物体有多个层级的父级变换时，如何正确计算其世界坐标系下的朝向？ 4. 如果物体正在执行动画，如何确保在每一帧获取到正确的世界变换？ 5. 如何优化频繁获取物体世界变换（位置、旋转）时的性能？ </think>### 解决方案 当 `locatedDevice` 没有 `quaternion` 属性时，我们可以使用以下两种替代方法计算物体的正面方向： #### 方法1：使用 `rotation` 属性计算方向向量 ```javascript const cameraMoveToDevice = (locatedDevice) => { // 获取物体的世界位置 const worldPosition = new THREE.Vector3(); locatedDevice.getWorldPosition(worldPosition); // 使用 rotation 属性计算正面方向 const rotation = locatedDevice.rotation; // 获取欧拉角旋转 const frontDirection = new THREE.Vector3(-1, 0, 0); // 初始方向：X轴负方向 // 创建临时矩阵应用旋转 const rotationMatrix = new THREE.Matrix4(); rotationMatrix.makeRotationFromEuler(rotation); frontDirection.applyMatrix4(rotationMatrix); frontDirection.normalize(); // 偏移设置和动画逻辑（与之前相同） // ... }; ``` #### 方法2：使用 `getWorldDirection()` 方法（推荐） ```javascript const cameraMoveToDevice = (locatedDevice) => { // 获取物体的世界位置 const worldPosition = new THREE.Vector3(); locatedDevice.getWorldPosition(worldPosition); // 使用内置方法获取世界方向 const frontDirection = new THREE.Vector3(); locatedDevice.getWorldDirection(frontDirection); // 由于getWorldDirection()默认返回Z轴负方向，我们需要反转它 frontDirection.multiplyScalar(-1); // 现在指向物体的正面方向 // 偏移设置 const heightOffset = 2; const forwardOffset = 4 * mirrorFactor.value; // 计算摄像机位置 const newCameraPosition = new THREE.Vector3() .copy(worldPosition) .add(new THREE.Vector3(0, heightOffset, 0)) .add(frontDirection.clone().multiplyScalar(forwardOffset)); // 动画逻辑（保持不变） // ... }; ``` ### 关键说明： 1. **为什么 quaternion 可能不存在**： - 物体可能是基础几何体而不是 `Object3D` 实例 - 使用的是较旧版本的Three.js - 物体尚未添加到场景中进行矩阵更新 2. **推荐方法**： `getWorldDirection()` 是最可靠的方法，它： - 自动处理物体的世界变换 - 考虑所有父级变换 - 不需要手动更新矩阵 3. **方向处理**： - `getWorldDirection()` 默认返回局部Z轴负方向 - 通过 `multiplyScalar(-1)` 反转得到正面方向 - 这与您需要的X轴负方向正面一致 ### 注意事项： - 使用前确保物体已添加到场景并更新了矩阵： ```javascript scene.updateMatrixWorld(true); // 强制更新所有物体的世界矩阵 ``` - 如果物体是组(Group)，确保获取的是实际需要观察的子物体
评论
成就一亿技术人!
拼手气红包6.0元
还能输入1000个字符
 
红包 添加红包
表情包 插入表情
表情包 代码片
 条评论被折叠 查看
添加红包

请填写红包祝福语或标题

个

红包个数最小为10个

元

红包金额最低5元

当前余额3.43元 前往充值 >
需支付：10.00元
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付元
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明：

1.余额是钱包充值的虚拟货币，按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载，可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值