【力斩offer】一些面试常问的数学概念

线性代数

n阶矩阵A可相似对角化的条件（2充分+2充要）

充分：

1. n阶矩阵A有n个不同的特征值
2. n阶矩阵A为实对称矩阵（实数 + $A^T=A$ ）

充要：

1. A有n个线性无关的特征向量
2. A对应于每个k重特征值都有k个线性无关的特征向量

什么是矩阵的秩

矩阵中非零子式最高阶数

什么是矩阵的迹？

矩阵主对角线的元素的和

行列式的大小及正负的含义？

行列式：空间变换的测度

行列式的正负：这表示旋转变换是对称还是反对称，手性非手性的意思

什么是线性相关？什么是线性无关？

对m个n维向量，若存在一组不全为的数，使得这组向量等于0，那么这组向量线性相关

若数全为0时，向量才为0，那么向量组线性无关

什么相似矩阵？什么是正定矩阵？

相似矩阵：设AB是两个n阶方阵，若存在n阶可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP=B$，那么称A相似于B

正定矩阵：n元二次型$f=x^{T}Ax$，对任意非零的x，均有$x^{T}Ax>0$，那么称二次型为正定二次型，二次型对应的矩阵A就是正定矩阵

矩阵运算下Ax=b中什么情况下x有解

增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩时，有解
等于并且等于n，有唯一解
等于并且小于n，有无穷多个解

什么是两个矩阵等价？用矩阵乘法严谨的表述

设有两个$m\ast n$的矩阵AB，如果满足$PAQ=B$，那么这两个矩阵等价

什么是两个矩阵相似？用矩阵乘法严谨的表述

设AB是两个n阶方阵，若存在n阶可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP=B$，那么称A相似于B

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概率论

随机试验的3个条件

1. 可在相同条件下重复进行
2. 所有的结果已知，且不止一个
3. 但事先不知道是哪个结果

解释下相关系数或协方差0的时候能否说明两个分布无关？

相关系数 $\rho$ 为0时，可以得出X和Y两个分布独立，线性无关

• 协方差 $COV$：用于衡量两个变量的总体误差，描述两个变量间的相关程度（可以通俗的理解为：两个变量在变化过程中是同方向变化？还是反方向变化？同向或反向程度如何？）
• 相关系数 $\rho$：用$X$和$Y$的协方差 / $X$的标准差和$Y$的标准差。表示$X$和$Y$的线性相关程度

独立和不相关的区别？

1. 独立一定不相关，不相关不一定独立
2. 对于均值为0的高斯随机变量，独立$⟺$不相关

什么是概率密度函数（连续型）？

连续型随机变量及其概率密度
如果随机变量X的分布函数可以表示为
$$F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt(x\in R)$$
其中$f(x)$是非负可积函数，则称$X$为连续型随机变量，称$f(x)$为$X$的概率密度函数

几种常见的离散分布？

分布	期望	方差
0-1分布 $B(1,p)$	$p$	$1-p$
二项分布 $B(n,p)$	$np$	$np(1-p)$
泊松分布 $P(\lambda )$	$\lambda$	$\lambda$
几何分布 $G(p)$	$\frac{1}{p}$	$\frac{1-p}{p^2}$

几种常见的连续分布？

分布	期望	方差
均匀分布 $U(a,b)$	$\frac{a+b}{2}$	$\frac{(b-a{)}^2}{12}$
指数分布 $E(\lambda )$	$\frac{1}{\lambda }$	$\frac{1}{{\lambda }^2}$
正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$	$\mu$	${\sigma }^2$

切比雪夫不等式

大数定律和中心极限定理的意义与作用（切比雪夫大数定律）

参考：通俗理解大数定律、中心极限定理

依概率收敛：就像极限里的语言一样，虽然你在动，那我们画条线，你总超不出去了吧
或者说，就算你真的超出了这条线，这也是一个小概率事件，这就是依概率收敛的意思

大数定律

• 切比雪夫大数定律：算数平均值依概率收敛于数学期望
• 伯努利大数定律：从定义概率的角度，揭示了概率与频率的关系，当N很大的时候，事件A发生的概率等于A发生的频率
• 辛钦大数定律：算数平均值稳定于数学期望的确切解释。对比切比雪夫，一个只要求独立和方差上界，而辛钦却要求独立同分布和期望存在

中心极限定理

定义：中心极限定理指的是给定一个任意分布的总体。我每次从这些总体中随机抽取 n 个抽样，一共抽 m 次。 然后把这 m 组抽样分别求出平均值。 这些平均值的分布接近正态分布。

中心极限定理，是指概率论中讨论随机变量序列部分和分布渐近于正态分布的一类定理。
这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量近似服从正态分布的条件。
在自然界与生产中，一些现象受到许多相互独立的随机因素的影响，如果每个因素所产生的影响都很微小时，总的影响可以看作是服从正态分布的。中心极限定理就是从数学上证明了这一现象。

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离散数学

命题逻辑和谓词逻辑

命题逻辑：

1. 命题（非真即假的陈述句），联结词（否定、析取、合取、蕴含、等价）
2. 命题公式及其赋值（重言式、矛盾式、可满足式）

谓词逻辑：

由个体$(a,b,c,x,y,z)$、谓词$(F(x),G(x,y),H)$、量词$(\exists ,\forall )$组成

1. 个体：将 独立存在的 客体，具体事物，抽象事物 ( 概念 ) 称为个体或个体词
2. 谓词：将表示个体性质或彼此之间关系的词称为谓词
3. 量词：全称量词（任意、所有、每一个），存在谓词（有一个、有的）

10个真假命题用联结词组合成一句话叫做什么？

简单命题=命题常项=命题常元

由简单命题通过联结词联结而成的命题，称作复合命题

将命题变项$(p,q,r)$用联结词$(\neg ,\vee ,\wedge ,\to ,\leftarrow \to )$和圆括号按照一定的逻辑关系联结起来的符号串称作合式公式

解释下等价关系和等价类

等价关系：R是定义在A上的一个关系，如果R是自反、对称和传递的，那么称R为等价关系。

等价类：设R是关系A上的等价关系，对A中的任意一个元素，元素x所形成的等价类是$<x,y>$构成的序偶满足等价关系R，并且是在A中的元素，由序偶中的y构成的集合即为等价类

哈密顿图、欧拉图有什么区别

哈密顿回路：经过所有点一次且仅一次并能回到出发点的回路；拥有哈密顿回路的图叫作哈密顿图
欧拉回路：不重复地经过所有边的回路；拥有欧拉回路的图称为欧拉图

哈夫曼树的定义，怎么求，应用

哈夫曼树（ Huffman ）又称最优二叉树，是一类带权路径长度最短的树
每次合并权值最小与次小的树，直到只有一棵树为止
用于确定最佳判断顺序，用于通信编码