座标系线性变换

线性变换基础（3D数学编程中，形式转换经常是错误的根源，所以这部分大家要多多思考，仔细运算）

一般来说，方阵（就是行和列都相等的矩阵）能描述任意的线性变换，所以后面我们一般用方阵来变换

其实简单的说，线性变换就是保留直线和平行线，原点没有移动，而其他的几何性质，如长度、角度、面积和体积可能被改变。

从视觉的直观角度上讲，线性变换可能“拉伸”坐标系，但不会“弯曲”和“卷折”坐标系（毕竟是“线性”的变换嘛，不然可能就叫做曲线变换了）。

下面先引入一个直观的变换例子：

先在单位基向量处画一个茶壶

 

然后我们给出一个变换矩阵

然后我们让这个茶壶的坐标按上面的矩阵经行变换

这个变换包含z轴顺时针旋转45°和不规则缩放。

 

在讨论具体的变换之前，还必须要搞清楚，我们到底要变换什么。在这里我们所提到的变换，其内容主要就两个：变换物体和变换坐标系。

变换物体，意味着变换物体上所有的点，这这点将被移动到一个新的位置，我们仍使用同一坐标系来描述变换前和变换后的位置。

变换坐标，意味着物体上的点实际没有移动，我们只是在另外一个坐标系中描述它的位置而已。

 

其实这两种变换实际上是等价的，将物体变换一个量等价于将坐标系变换一个相反的量。

ps:下面我们实现的变换都是物体变换

 

旋转

2D中绕原点旋转的参数只有一个：角度θ，它描述了旋转量。（逆时针旋转经常被认为是正方向，顺时针方向时负方向）

根据几何知识我们可知旋转矩阵应该为

 

在3D场景中，一般都是绕轴旋转，并且在绕轴旋转θ°时，必须知道哪个方向别认为“正”，哪个方向被认为“负”。

在左手坐标系中定义此方向的规则为左手规则

 

 

左手坐标系
从哪里看	正方向	负方向
从轴的负端点向正端点看	逆时针	顺时针
从轴的正端点向负端点看	顺时针	逆时针

 

绕轴变换中最为常见的就是绕坐标轴旋转

X轴

 

 可得到变换矩阵

同理得到Y轴和Z轴的变换公式

Y轴

Z轴

ps：对于任意轴的旋转，可能等我们学完了平移，将任意轴平移旋转至坐标轴变换后在移后即可。

 

缩放

通过比例因子K按比例变大或缩小来缩放物体。

如果在各方向应用同比例的缩放，且沿原点“扩张”物体，那么就是均匀缩放。（均匀缩放可以保持物体的角度和比例不变）

如果需要挤压或拉伸物体，在不同方向应用不同的因子即可，这称作非均匀缩放。（非均匀缩放时，物体角度将发生变化）

ps：如果 |k|<1 ，物体将变短，如果 |k|>1，物体变长。如果 |k|=0，就是正交投影。

最简单的缩放方法是沿着每个坐标轴应用单独的缩放因子。

2D中有两个缩放因子，和。缩放矩阵为：

缩放实例

对于3D，需要增加第三个缩放因子，3D缩放矩阵：

 

正交投影（平行投影）（投影意味着降维操作）

有一种投影方法是在某个方向上用零作为缩放因子。这种情况下，所有点都被拉平至垂直的轴或平面上，这种投影称作正交投影。

最简单的投影方式是向坐标轴或平面投影。

在2D环境下，向 x 轴投影

    

在2D环境下，向 y 轴投影

 

在3D环境下，向 xy 平面投影、向xz平面投影和向yz平面投影的矩阵

正交投影效果图

 

 

 

镜像（反射）

镜像是一种变换，起、其作用是将物体沿直线，或平面翻折。

ps：一个物体只能镜像一次，如果再次镜像物体将翻回正面，这和在原位置旋转物体的效果一样了。

在2D环境下，沿任意轴镜像的矩阵为

其中向量n为任意轴方向的单位向量，例如如果任意轴为x轴，则n=(1,0)，所以关于x轴的镜像矩阵为

在3D环境下，沿任意轴镜像的矩阵为

 

 

切变

切变是一种坐标系“扭曲”变换，非均匀地拉伸它。这是一种很少用到的变换，它也被称作扭曲变换。

切变的时候角度会发生变化，但是令人惊奇的是面积和体积却保持不变。

切变的基本实现思想是，某一坐标的乘积加到另一个坐标上去：x' = x + sy。

 

在2D环境下，x坐标根据坐标y以参数s控制切变方向和向量的切变矩阵

  

在2D环境下，y坐标根据坐标x以参数s控制切变方向和向量的切变矩阵

3D坐标中的切变矩阵两个坐标轴别另一个坐标轴改变的矩阵