【组合数学】生成函数

1.形式幂级数

生成函数是解决计数问题的一种有效方法，它的中心思想是：对于一个有限或无限数列 $a_0,a_1,a_2,...$，用 { x i } ( i = 0 , 1 , . . . ) \{x^i\}(i=0,1,...) {xi}(i=0,1,...)这样的生成基构成形式幂级数 $$A(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+...$$ 使 { a i } \{a_i\} {ai​} 与 { x i } \{x^i\} {xi} 成一一对应关系，由此 { a i } \{a_i\} {ai​} 与 { x i } \{x^i\} {xi} 构成了一个整体，通过研究幂级数 $A(x)$，导出数列 { a 0 , a 1 , a 2 , . . . } \{a_0,a_1,a_2,...\} {a0​,a1​,a2​,...}的构造和性质。
称 $A(x)$ 为序列 { a 0 , a 1 , a 2 , . . . } \{a_0,a_1,a_2,...\} {a0​,a1​,a2​,...} 的生成函数，并记为 $G(a_n)$

对于形式幂级数可以像收敛的幂级数那样进行运算，运算的定义和规则完全相同

定义 1.1：对于任意 $A(x)={\sum }_{k=0}^{\infty }{a}_k{x}^k$，规定 $DA(x)$ 为 $A(x)$ 的导数且 $DA(x)\equiv {\sum }_{k=0}^{\infty }k{a}_k{x}^{k-1}$

2.生成函数性质

一个数列和它的生成函数是一一对应的。 已知数列便得知它的生成函数（系数项确定）。同理求得生成函数，则数列也随之而定。
数列 { a 0 , a 1 , a 2 , . . . } \{a_0,a_1,a_2,...\} {a0​,a1​,a2​,...} 的生成函数为 $A(x)={\sum }_{k=0}^{\infty }{a}_k{x}^k$
数列 { b 0 , b 1 , b 2 , . . . } \{b_0,b_1,b_2,...\} {b0​,b1​,b2​,...} 的生成函数为 $B(x)={\sum }_{k=0}^{\infty }{b}_k{x}^k$
可以得到生成函数的如下一些性质

性质 2.1：若 $b_k=\{\begin{array}{cc}0& (k<l)\\ a_{k-l}& (k\ge l)\end{array}$ 则 $B(x)=x^l\cdot A(x)$

性质 2.2：若 $b_k=a_{k+l}$ ,则 $B(x)=\frac{1}{x^l}(A(X)-{\sum }_{k=0}^{l-1}{a}_k{x}^k)$

性质 2.3：若 $b_k={\sum }_{i=0}^k{a}_i$，则 $B(x)=\frac{A(x)}{1-x}$

性质 2.4：若 $b_k={\sum }_{i=k}^{\infty }{a}_i$，则 $B(x)=\frac{A(1)-xA(x)}{1-x}$

性质 2.5：若 $b_k=k{a}_k$，则 $B(x)=xA(x)$

性质 2.6：若 $b_k=\frac{a_k}{k+1}$，则 $B(x)=\frac{1}{x}{\int }_0^{x}A(t)dt$

性质 2.7：若 $c_k=\alpha a_k+\beta b_k$，则 $C(x)\equiv {\sum }_{k=0}^{\infty }{c}_k{x}^k=\alpha A(x)+\beta B(x)$

数列	生成函数
{1,1,1,…}	G { 1 } = 1 1 − x G\{1\}=\cfrac{1}{1-x} G{1}=1−x1​
{ a 0 , a 1 , a 2 , . . . } \{a^0,a^1,a^2,...\} {a0,a1,a2,...}	G { a k } = 1 1 − a x G\{a^k\}=\cfrac{1}{1-ax} G{ak}=1−ax1​
{0,1,2,…}	G { k } = x ( 1 − x ) 2 G\{k\}=\cfrac{x}{(1-x)^2} G{k}=(1−x)2x​
{ 0 ⋅ 1 , 1 ⋅ 2 , 2 ⋅ 3 , . . . } \{0\cdot1,1\cdot2,2\cdot3,...\} {0⋅1,1⋅2,2⋅3,...}	G { k ( k + 1 ) } = 2 x ( 1 − x ) 3 G\{k(k+1)\}=\cfrac{2x}{(1-x)^3} G{k(k+1)}=(1−x)32x​
{ 0 ⋅ 1 ⋅ 2 , 1 ⋅ 2 ⋅ 3 , 2 ⋅ 3 ⋅ 4 , . . . } \{0\cdot1\cdot2,1\cdot2\cdot3,2\cdot3\cdot4,...\} {0⋅1⋅2,1⋅2⋅3,2⋅3⋅4,...}	G { k ( k + 1 ) ( k + 2 ) } = 6 x ( 1 − x ) 4 G\{k(k+1)(k+2)\}=\cfrac{6x}{(1-x)^4} G{k(k+1)(k+2)}=(1−x)46x​
{0,1,4,…}	G { k 2 } = x ( 1 + x ) ( 1 − x ) 3 G\{k^2\}=\cfrac{x(1+x)}{(1-x)^3} G{k2}=(1−x)3x(1+x)​
{0,1,8,…}	G { k 3 } = x 3 + 4 x 2 + x ( 1 − x ) 4 G\{k^3\}=\cfrac{x^3+4x^2+x}{(1-x)^4} G{k3}=(1−x)4x3+4x2+x​
{ 1 0 ! , 1 1 ! , 1 2 ! , . . . } \{\cfrac{1}{0!},\cfrac{1}{1!},\cfrac{1}{2!},...\} {0!1​,1!1​,2!1​,...}	G { 1 k ! } = e x G\{\cfrac{1}{k!}\}=e^x G{k!1​}=ex
{ ( α 0 ) , ( α 1 ) , ( α 2 ) , . . . } \{\binom{\alpha}{0},\binom{\alpha}{1},\binom{\alpha}{2},...\} {(0α​),(1α​),(2α​),...}	G { ( α k ) } = ( 1 + x ) α G\{\binom{\alpha}{k}\}=(1+x)^\alpha G{(kα​)}=(1+x)α
{ ( n + 0 0 ) , ( n + 1 1 ) , ( n + 2 2 ) , . . . } \{\binom{n+0}{0},\binom{n+1}{1},\binom{n+2}{2},...\} {(0n+0​),(1n+1​),(2n+2​),...}	G { ( n + k k ) } = 1 ( 1 − x ) n + 1 G\{\binom{n+k}{k}\}=\cfrac{1}{(1-x)^{n+1}} G{(kn+k​)}=(1−x)n+11​

习题1、 求序列{5, 6, 7, …, n + 5, …}的生成函数

习题2、 利用生成函数计算 $1^3+2^3+...+n^3$

3.生成函数求解递推关系

生成函数求解递推关系基本步骤如下：

1. 令 $A(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }f(n)x^n$
2. 将关于 $f(n)$ 的递推关系式转化成关于 $A(x)$ 的方程式
3. 解出 $A(x)$ ，将 $A(x)$ 展开成 x 的幂级数， $x^n$ 的系数即是 $f(n)$

习题3、 用生成函数求解递推关系$\{\begin{array}{c}f(n)=4f(n-2)\\ f(0)=0,f(1)=1\end{array}$

习题4、 用生成函数求解递推关系$\{\begin{array}{c}f(n)=f(n-1)+9f(n-2)-9f(n-3)\\ f(0)=0,f(1)=1,f(2)=2\end{array}$

习题5、 用生成函数求解递推关系$\{\begin{array}{c}f(n)=f(n-1)+n^2\\ f(0)=0\end{array}$

4.生成函数在计数问题中的应用

生成函数求计数问题基本步骤如下：

1. 设定目标元素的各集合 M i = { . . . } M_i=\{...\} Mi​={...}
2. 展开式的积 $\to$ 封闭式的积 $\to$ 展开式的简洁式
3. 从简洁展开式中找$x^n$系数

4.1 组合数的生成函数

定理 4.1：设从 n 元集合 S = { a 1 , a 2 , . . . , a n } S=\{a_1,a_2,...,a_n\} S={a1​,a2​,...,an​} 取 k 个元素的组合数为 $b_k$ ，若限定元素 $a_i$ 出现的次数集合为 $M_i$ , 则该组合数序列的生成函数为 ${\prod }_{i=1}^n({\sum }_{m\in M_i}^{}{x}^m)$

习题6、 设多重集合 S = { ∞ ⋅ e 1 , ∞ ⋅ e 2 , ∞ ⋅ e 3 , ∞ ⋅ e 4 } S=\{\infty \cdot e_1,\infty \cdot e_2,\infty \cdot e_3,\infty \cdot e_4\} S={∞⋅e1​,∞⋅e2​,∞⋅e3​,∞⋅e4​}, $a_n$表示集合 S 满足下列条件的 n 组合数，分别求数列 {$a_n$} 生成函数
(1) $e_1$不出现，$e_2$至多出现 1 次
(2) $e_1$出现 1，3 或 11 次，$e_2$出现 2，4 或 5 次

4.2 排列数的指数型生成函数

定理 4.2：多重集合 M = { ∞ ⋅ a 1 , ∞ ⋅ a 2 , . . . , ∞ ⋅ a n } M=\{\infty \cdot a_1,\infty \cdot a_2,...,\infty \cdot a_n\} M={∞⋅a1​,∞⋅a2​,...,∞⋅an​} 的 k 排列中，若限定元素 $a_i$ 出现的次数集合为 $M_i(1\le i\le n)$，则排列数的指数型生成函数为 ${\prod }_{i=1}^n(\frac{{\sum }_{m\in M_i}^{}{x}^m}{m!})$
数列{1,1, ,1}的指数型生成函数 $e(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}$, $e(x)e(y)=e(x+y)$

$$\begin{gathered} e(x)e(-x)=e(0)=1e(-x)=\frac{1}{e(x)} \\ \frac{e(x)+e(-x)}{2}=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+...\frac{e(x)-e(-x)}{2}=\frac{x}{1!}+\frac{x^3}{3!}+... \end{gathered}$$

习题7、 a，b，c，d，e 组成的长为 n 的字中，要求 a 与 b 的个数之和为偶数，这样的字有多少个?

4.3 组合型分配问题

定理 4.3：把 k 个相同的球放入 n 个不同的盒子 $a_1,a_2,...,a_n$ 中，限定盒子 $a_i$ 的容量集合为 $M_i$ , 则其分配方案数的生成函数为 ${\prod }_{i=1}^n({\sum }_{m\in M_i}^{}{x}^m)$

习题8、 求方程 $x^1+2x^2+4x^3=21$ 的正整数解的个数？

该问题相当于从 S = { ∞ ⋅ a 1 , ∞ ⋅ a 2 , ∞ ⋅ a 3 } S=\{ \infty \cdot a_1,\infty \cdot a_2,\infty \cdot a_3 \} S={∞⋅a1​,∞⋅a2​,∞⋅a3​} 中取出21个组合数，设 $a_1,a_2,a_3$ 限制出现的次数集合为 M 1 = { 1 , 2 , 3 , . . . } , M 2 = { 2 , 4 , . . . } , M 3 = { 4 , 8 , . . . } M_1=\{1,2,3,...\},M_2=\{2,4,...\},M_3=\{4,8,...\} M1​={1,2,3,...},M2​={2,4,...},M3​={4,8,...}
组合生成函数为 $$\begin{gathered} (x+x^2+...)(x^2+x^4+...)(x^4+x^8+...) \\ =x^7\frac{1}{1-x}\cdot \frac{1}{1-x^2}\cdot \frac{1}{1-x^4} \\ =x^7(1+x)\frac{1}{(1-x^2{)}^2}\cdot \frac{1}{1-x^4} \\ =x^7(1+x)(1+x^2{)}^2\frac{1}{(1-x^4{)}^3} \\ =(x^7+x^8+2x^9+2x^{10}+x^{11}+x^{12})\sum _{k=0}^{\infty }(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+3-1}{k})x^{4k} \end{gathered}$$ $x^{21}$ 的系数为 $2\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3+3-1}{3}\right)=20$

4.4 排列型分配问题

定理 4.4：把 k 个不同的球放入 n 个不同的盒子 $a_1,a_2,...,a_n$ 中，限定盒子 $a_i$ 的容量集合为 $M_i$ , 则其分配方案数的生成函数为 ${\prod }_{i=1}^n(\frac{{\sum }_{m\in M_i}^{}{x}^m}{m!})$

习题9、 用红、白、蓝 3 种颜色给1×n棋盘着色，要求白色方格数是偶数，有多少种方案?

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第四章课后习题：作业 第四章 生成函数