COFACTOR

（源文档高清截图位于最后）回顾：对两个顶点u和v，若有边(u, v)直连，则称u和v相邻。若两条边有公共顶点，称两条边相邻。边与相连的顶点关联。自环：一条从一个顶点到它本身的边。极大（小）值＝局部最大（小）值≠全局最大（小）值。1、对无向图G(V, E)，若，且对任意的v∈(V \ V’)，总存在边(u, v)∈E且u∈V’，则称V’是G的一个点支配集。换言之：点支配集以外的任意一个点...

取余的性质：1、当被除数能被除数整除时，无论被除数和除数的正负，余数都是 0。2、仅被除数为负时，余数才可能为负。3、余数的正负和除数无关。...

教材：《离散数学》第2版 屈婉玲 耿素云 张立昂 高等教育出版社源文档高清截图在最后第16章 树16.1 无向树及其性质1、连通而无回路的无向图叫做无向树，简称树。每个连通分量都是树的无向图称作森林。平凡图也成平凡树。在无向树中，悬挂顶点（度数为1的顶点）称树叶，度数大于等于2的顶点称作分支点。2、树的充分必要条件：设G(V, E)是n阶m条边的无向图，则下列命题等价：【1】G是树。...

教材：《离散数学》第2版 屈婉玲 耿素云 张立昂 高等教育出版社源文档高清截图在最后15.3 最短路问题、中国邮递员问题与货郎担问题1、设图G(V, E)，给定W：E→R，对G的每一条边e，称W(e)为边e的权，把这样的图G称为带权图，记为G(V, E, W)或G = <V, E, W>或G = (V, E, W)。当e = (u, v)（或<u, v>）时，也可以把...

教材：《离散数学》第2版 屈婉玲 耿素云 张立昂 高等教育出版社源文档高清截图在最后第15章欧拉图与哈密顿图15.1 欧拉图1、通过图中所有边仅一次的通路称作欧拉通路。通过图中所有边仅一次的回路称作欧拉回路。具有欧拉回路的图是欧拉图，仅具有欧拉通路的图是半欧拉图。平凡图（只含一个顶点的图）是欧拉图。2、无向图G是欧拉图，当且仅当G是连通图且没有奇度顶点。证明 若G为平凡图，显然成立。...

教材：《离散数学》第2版 屈婉玲 耿素云 张立昂 高等教育出版社源文档高清截图在最后14.4 图的矩阵表示1、图可以用集合来定义，但多用图形表示，还可以用矩阵来表示。用矩阵表示图便于用代数方法研究图的性质。图可以用关联矩阵、邻接矩阵或可达矩阵来表示。2、设无向图G(V, E)，V = {v1，v2，……，vn}，E = {e1，e2，……，em}。则可构造G的关联矩阵M(G) = {mi,...

教材：《离散数学》第2版 屈婉玲 耿素云 张立昂 高等教育出版社源文档高清截图在最后未完待续14.3 图的连通性1、设无向图G(V, E)，若u，v∈V之间存在通路，就称u，v是连通的，记作u ~ v。规定：对任意v∈V，v ~ v。如果无向图G是平凡图（只含一个顶点的图）或者G中任意两个顶点都是连通的，则G为连通图，否则为非连通图。无向图中，顶点之间的连通关系 ~ 是等价关系：具有自反性...

第19章 初等数论 知识归纳与梳理（含证明）https://pan.baidu.com/s/1dYVCJOMmxS-T7MitwVHqcQ仅结论：https://pan.baidu.com/s/1wIQ-y8TX7qNlsYKlhgd0SA

教材：《离散数学》第2版 屈婉玲 耿素云 张立昂 高等教育出版社源文档高清截图在最后第14章 图的基本概念14.1 图1、图论中的图与几何中的图形有着本质区别。图论重点研究点与点的连线，而与点的具体位置基本无关。2、设集合A、B，称{{a, b}| a∈A∧b∈B}为A与B的无序积A&B。无序积中的无序对{a, b}也可记作(a, b)，允许a＝b。由于(a, b)＝(b, a)...

教材：《离散数学》第2版 屈婉玲 耿素云 张立昂 高等教育出版社源文档高清截图在最后第7章 二元关系7.1 有序对与笛卡尔积1、由两个元素x、y（可以相同）有序排列成的二元组称为有序对或有序偶，记作<x，y>，x和y分别称作它的第一元素、第二元素。有序对<w, x>和<y, z>相等的充分必要条件是：w = y且x = z。这个性质是二元集{x, y}不...

教材：《离散数学》第2版 屈婉玲 耿素云 张立昂 高等教育出版社源文档高清截图在最后6.3 有穷集的计数1、容斥定理（容斥原理） 设有穷集S，n个性质分别为P1，P2，……，Pn。S中的元素具有或不具有性质Pi。若Ai表示S中具有性质Pi的元素构成的子集，则同时不具有全部性质P1，P2，……，Pn的元素数为S中至少具有某种性质的元素数为用数学归纳法可以完成证明。2、欧拉（Eul...

教材：《离散数学》第2版 屈婉玲 耿素云 张立昂 高等教育出版社源文档高清截图在最后第6章 集合代数6.1 集合1、集合是不能精确定义的基本概念。直观来讲，把一些事物汇集到一起组成整体就叫集合。这些事物称为集合的元素或成员。例如：平面上的所有点的集合；26个英文字母的集合；自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C等。表示集合的方法有列元素法，如：A = {a,b,c}以及谓...

教材：《离散数学》第2版 屈婉玲 耿素云 张立昂 高等教育出版社源文档高清截图在最后19.5 欧拉定理和费马小定理1、欧拉定理 设a与n互质，则aφ(n)≡1 (% n)。证明 设 {0，1，……，n－1} 中共有与n互质的数φ(n)个，分别记为r1，r2，……，rφ(n)。因为a与n互质，ri与n也互质（1≤i≤φ(n)），所以ari也与n互质。因为对1≤i≤φ(n)，ari % n...

教材：《离散数学》第2版 屈婉玲 耿素云 张立昂 高等教育出版社源文档高清截图在最后19.3 同余1、设整数m，a，b，如果a % m = b % m，就说a模m同余于b，或a与b模m同余，记作a≡b (mod m)。为了方便，下面也记作a≡b (% m)。a与b模m同余的充分必要条件：（1）a % m = b % m。（2）a = b + qm，q是整数。2、同余的性质：（1）同...

教材：《离散数学》第2版 屈婉玲 耿素云 张立昂 高等教育出版社源文档高清截图在最后第19章 初等数论本文用到的全部变量如无特别声明，均为整数。19.1 素数1、设整数a、b，且b≠0。如果存在整数c使得a = bc，就说a被b整除，或b整除a，记作b | a。也称a是b的倍数，b是a的因数（因子）。任何正整数都至少有两个因数：1和本身，称为平凡因子，其余称为真因子。2、设整数a，b，...

教材：《离散数学》第2版 屈婉玲 耿素云 张立昂 高等教育出版社源文档高清截图在最后10.2 子群与群的陪集分解1、设群<G，>，群<H，>的集合H是G的非空子集（回忆：群是代数系统的一种，有时也分别用子代数系统和代数系统涉及的集合来简记子群和群）。如果H关于G中的运算构成群，就称H是G的子群，记作H ≤ G。如果H是G的子群且HG，则称H是G的真子群，记作H &lt...

教材：《离散数学》第2版 屈婉玲 耿素云 张立昂 高等教育出版社源文档高清截图在最后第10章 群与环10.1 群的定义与性质1、对代数系统A = <S，> ：（1）如果为二元运算（注意：从集合S到集合S本身的二元运算是封闭的）且可结合，则称A为半群。（2）在（1）的条件下，如果e∈S是关于*运算的单位元，则A是幺半群，或称独异点。（3）在（2）的条件下，如果任意a∈S都有...

教材：《离散数学》第2版 屈婉玲 耿素云 张立昂 高等教育出版社源文档高清截图在最后。1、非空集S和S上的k个一元或二元运算f1，f2，……，fk组成的系统称作一个代数系统，简称代数。记作 <S，f1，f2，……，fk>。注意：S上的一元或二元运算是封闭的。例如：<N, +>, <Z, +,·>, <R, +,·> 都是代数系统。+和·分别表示...

9.1 二元运算及其性质（原文档高清截图在最后，已排版）1、设集合S，函数 f: S×S→S 称为S上的二元运算，简称二元运算。2、2、一个运算为S上的二元运算，需要符合如下两点：（1）集合S中的任意两个元素都能运算，且结果唯一；（2）（1）中的任何运算结果都属于S，即S对该运算封闭。例：（1）自然数集N上的加法和乘法都是N上的二元运算，而减法和除法不是。因为减法的结果可能出现零、...