【梳理】离散数学 第19章 初等数论 19.3 同余 19.4 一次同余方程

教材：《离散数学》第2版 屈婉玲 耿素云 张立昂 高等教育出版社
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19.3 同余

1、设整数m，a，b，如果a % m = b % m，就说a模m同余于b，或a与b模m同余，记作a≡b (mod m)。为了方便，下面也记作a≡b (% m)。
a与b模m同余的充分必要条件：
（1）a % m = b % m。
（2）a = b + qm，q是整数。

2、同余的性质：
（1）同余关系是等价关系，即同余具有：
【1】自反性：a≡a (% m)。
【2】传递性：若a≡b (% m)，b≡c (% m)，则a≡c (% m)。该命题也缩写为a≡b≡c (% m)。
【3】对称性：若a≡b (% m)，则b≡a (% m)。
（2）若a≡b (% m)，c≡d (% m)，则有下列模的算术运算：
a±c≡b±d (% m)，ac≡bd (% m)，ak≡bk (% m)，其中k是非负整数。
（3）设d≥1，d | m，a≡b (% m)，那么a≡b (% d)。
（4）设d≥1，则a≡b (% m) 当且仅当da≡db (% dm)。
（5）设c与m互质，则a≡b (% m) 当且仅当ca≡cb (% m)。
整数a在模m同余的关系下的等价类记作[a]m，称作a的模m等价类。不至混淆时，可以简记为[a]。整数集Z在模m同余关系下的商集记作Zm。根据上述模算术运算，在Zm上定义加法和乘法如下：
对任意整数a，b，[a] + [b] = [a + b]，[a]·[b] = [ab]。
（设R是定义在集合A上的等价关系，与A中一个元素a具有该关系R的所有元素的集合叫做a的等价类。设R是非空集合A的一个等价关系，若把以A关于R的全部等价类作为元素组成一个新的集合B，则把集合B叫做A关于R的商集合，简称为商集，记作B = A / R。本例中，模m同余是定义在整数集Z上的等价关系。设余数为r，则r，r + m，r + 2m，……都与m具有模m余r的关系，它们属于同一等价类。将这些等价类作为元素构成了商集Q = { [0]，[1]，……，[m－1]