518-零钱兑换 II（完全背包）

题目

给定不同面额的硬币和一个总金额。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。

示例 1:

输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出: 4
解释: 有四种方式可以凑成总金额:
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1

示例 2:

输入: amount = 3, coins = [2]
输出: 0
解释: 只用面额2的硬币不能凑成总金额3。

示例 3:

输入: amount = 10, coins = [10]
输出: 1

题解

class Solution {
    public int change(int amount, int[] coins) {
        if(coins==null){
            return 0;
        }
        int[] dp=new int[amount+1];
        dp[0]=1;// 有一种方案凑成 0 元，那就是 一个也不选
        for(int coin:coins){
            // 记录每添加一种面额的零钱，总金额j的变化
            for(int i=coin;i<=amount;i++){
                dp[i]+=dp[i-coin];
            }
        }
        return dp[amount];
    }
}

思路：

1. 转化为是否可以用 coins 中的数组合和成 amount，完全背包问题，并且为“不考虑排列顺序的完全背包问题”，外层循环为选择池 coins，内层循环为 amount。
   dp[i] 表示和为 i 的 coin 组合有 dp[i] 种。

   外层遍历 coins 每个 coin；
   内层遍历 amount。
   对于元素之和等于 i - coin 的每一种组合，在最后添加 coin 之后即可得到一个元素之和等于 i 的组合，因此在计算 dp[i] 时，应该计算所有的 dp[i − coin] 之和。
   dp[i] = dp[i] + dp[i - coin]
   对于边界条件，我们定义 dp[0] = 1，表示只有当不选取任何元素时，元素之和才为 0，因此只有 1 种方案。
   最后返回 dp[amount]。