62-不同路径（矩阵路径）

题目

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28
示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。

1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下
   示例 3：

输入：m = 7, n = 3
输出：28
示例 4：

输入：m = 3, n = 3
输出：6

题解一（动态规划）

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[][] dp=new int[m][n];
        for(int i=0;i<m;i++){
            dp[i][0]=1;
        }
        for(int j=0;j<n;j++){
            dp[0][j]=1;
        }
        for(int i=1;i<m;i++){
            for(int j=1;j<n;j++){
                dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
            }
        }
        return dp[m-1][n-1];
    }
}

笔记：

1. dp中，第一行和第一列都为1的原因是走到第一行和第一列的路径数均为1。
2. 使用动态规划数组记录数据。

题解二（数学组合的方式）

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int N=m+n-2;//总步数
        int M=m-1;//向下走的步数
        long ret=1;
        for(int i=1;i<=M;i++){
            ret=ret*(N-M+i)/i;
        }
        return (int)ret;
    }
}

笔记：

1. 机器人一定会走m+n-2步，即从m+n-2中挑出m-1步向下走，即C（（m+n-2），（m-1））。（m+n-2在下面）
2. 排列组合c的公式：C(n,m)=A(n,m)/m!=n!/m!(n-m)!与C(n,m)=C(n,n-m)。(n为下标,m为上标)。
3. 分母为m！，分子为n乘并减，直到减到n-m+1为止。