222. 完全二叉树的节点个数

本文介绍了一种高效计算完全二叉树节点数量的方法,通过分割成满二叉树和完全二叉树,利用递归和层级遍历,提供了一个经典解法,避免了全树遍历的高复杂度。

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给出一个完全二叉树,求出该树的节点个数。

说明:

完全二叉树的定义如下:在完全二叉树中,除了最底层节点可能没填满外,其余每层节点数都达到最大值,并且最下面一层的节点都集中在该层最左边的若干位置。若最底层为第 h 层,则该层包含 1~ 2h 个节点。

示例:

输入: 
    1
   / \
  2   3
 / \  /
4  5 6

输出: 6

 

先了解一下什么是完全二叉树:

参考:https://mp.weixin.qq.com/s/UglpiGWoSjJ2Wf4weO3caQ

完全二叉树由满二叉树引出,先来了解一下什么是满二叉树:

如果二叉树中除了叶子节点,每个节点的度为2.,则此二叉树称为满二叉树。(二叉树的度代表某个节点的孩子或者说直接后继的个数。对于二叉树而言,1度是只有一个孩子或者说单子树,2度是有两个孩子或者说左右子树都有。)

比如下面这颗:

                                                 

 那什么是完全二叉树呢:

如果二叉树出去最后一层节点为满二叉树,且最后一层的节点依次从左到右分布,则此二叉树被称为完全二叉树。

比如下面这颗:

                                                            

下面这颗就不是:                                  

                                                          

递归求解:

class Solution {
    public int countNodes(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return 0;
        }
        return 1 + countNodes(root.left) + countNodes(root.right);
    }
}

 

经典解法:

        由于题中已经告诉我们这是一颗完全二叉树,我们又已知了完全二叉树除了最后一层,其他层都是满的,并且最后一层的节点全部靠向了左边。那我们可以想到,可以将该完全二叉树可以分割成若干满二叉树和完全二叉树满二叉树直接根据层高h计算出节点为2^h-1,然后继续计算子树中完全二叉树节点。那如何分割成若干满二叉树和完全二叉树呢?对任意一个子树,遍历其左子树层高left,右子树层高right,相等左子树则是满二叉树,否则右子树是满二叉树。这里可能不容易理解,我们看图。

假如我们有树如下:

我们看到根节点的左右子树高度都为3,那么说明左子树是一颗满二叉树。因为节点已经填充到右子树了,左子树必定已经填满了。所以左子树的节点总数我们可以直接得到,是2^left - 1,加上当前这个root节点,则正好是2^3,即 8。然后只需要再对右子树进行递归统计即可。

那假如我们的树是这样:

我们看到左子树高度为3,右子树高度为2。说明此时最后一层不满,但倒数第二层已经满了,可以直接得到右子树的节点个数。同理,右子树节点+root节点,总数为2^right,即2^2。再对左子树进行递归查找。

class Solution {
    public int countNodes(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return 0;
        }
        int rightLevel = countLevel(root.right);
        int leftLevel = countLevel(root.left);
        if (rightLevel == leftLevel) {
            return countNodes(root.right) + (1 << leftLevel);
        } else {
            return countNodes(root.left) + (1 << rightLevel);
        }
        
    }
    private int countLevel(TreeNode root) {
        int level = 0;
        while (root != null) {
            level ++;
            root = root.left;

        }
        return level;
    }
}

完全二叉树左子树节点个数是一个有趣的问题,通常涉及到二叉树的一些性质以及算法技巧。 ### 完全二叉树的特性 首先回顾一下完全二叉树的特点: 1. **层次遍历**:除了最后一层外,其他各层都是满的。 2. **叶子节点位置**:所有叶节点尽可能靠左边排列。 3. **节点编号**:如果我们将根节点视为第0层,则对于任一节点i (从0开始计数),它的左右孩子分别是2*i+1 和 2*i+2;而其父节点则是(i-1)//2向下取整的结果。 基于以上特点,在给定一棵非空完全二叉树的情况下计算其最左侧分支深度可以帮助我们确定整个树的高度h,并由此推断出该高度下的最大可能结点数目(即当它是完美平衡的时候)。然后通过比较实际存在的右子树是否达到这一理论值来调整最终结果。 #### 算法步骤概述: 1. 计算完全二叉树的最大深度 `maxDepth` (也就是最深的一条路径上经过了多少个边); - 使用类似先序遍历的方式直到遇到第一个null指针为止记录下当前层数作为最大深度。 2. 根据得到的最大深度 h 来估算理论上完整的左半部分应该有多少个元素 N_left = 2^h - 1 ; 3. 对于右侧进行同样的操作以检查它是不是也达到了相同的深度; 4. 如果右边确实存在同样深度的链路说明此时我们的原估计就是准确的答案了;否则就减去多余的那一位并返回修正后的数值。 具体的代码实现可以参考下面的例子: ```python def countLeftNodes(root): if not root: return 0 def get_depth(node): depth = 0 while node is not None: node = node.left depth += 1 return depth left_depth = get_depth(root.left) right_depth = get_depth(root.right) # 判断是否需要加上root本身(取决于left subtree是否存在) if left_depth == right_depth: # 左右两棵子树都到达相同深度 -> 加入所有的左子树节点 + 自己 return pow(2, left_depth) - 1 + 1 + countLeftNodes(root.right) else: # 右侧较短 -> 将自身加入到完整左侧结构中考虑即可 return pow(2, left_depth - 1) - 1 + 1 + countLeftNodes(root.left) # 测试例子: class TreeNode(object): def __init__(self, x): self.val = x self.left = None self.right = None node_list = [TreeNode(x) for x in range(7)] for i in range(len(node_list)-1): parent_idx = i // 2 child_is_right = bool((parent_idx * 2 + 2)==i+1) if(child_is_right): node_list[parent_idx].right=node_list[i] elif(parent_idx*2+1<=len(node_list)): node_list[parent_idx].left=node_list[i] print(countLeftNodes(node_list[0])) # 输出应该是3 或者5等依输入数据集变化的具体数字. ``` 请注意此段Python示例仅为演示之用,请按照实际情况修改适应您使用的语言环境及逻辑需求。
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