考研数学——无穷级数篇

数项级数

什么是数项级数？

数项级数是无穷多个实数依次相加的数学表达式，是“有限项和”的极限推广

给定一个无穷实数列$u_1,u_2,u_3,\dots ,u_n,\dots$，将其所有项依次相加的表达式：
${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n=u_1+u_2+u_3+\cdots +u_n+\dots$
称为数项级数（简称“级数”），其中$u_n$是级数的一般项（或“通项”）

级数的收敛与发散的定义

部分和数列的定义：取级数的前$n$项相加，得到的和$S_n=u_1+u_2+\cdots +u_n$，称为级数的前$n$项部分和（形成新的数列{Sn}\{S_n\}{Sn​}，即“部分和数列”）

引入了部分和数列之后，我们就能用级数对应的部分和数列极限是否存在，来定义级数的发散与收敛

级数收敛与发散的定义：

1. 若部分和数列{Sn}\{S_n\}{Sn​}的极限存在，即${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=S$（$S$是有限实数），则称级数${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛，且其和为$S$，记为${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n=S$；
2. 若部分和数列{Sn}\{S_n\}{Sn​}的极限不存在（或极限为$\pm \infty$），则称级数${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$发散（发散级数没有“和”）。

级数收敛与发散的经典案例

• 收敛案例：等比级数（几何级数）${\sum }_{n=0}^{\infty }a{q}^n=a+aq+a{q}^2+\dots$（$a\ne 0$）：
  部分和$S_n=a\cdot \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$（$q\ne 1$）。

  • 当$|q|<1$时，${\lim }_{n\to \infty }{q}^{n+1}=0$，故${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=\frac{a}{1-q}$，级数收敛；
  • 当$|q|\ge 1$时，${\lim }_{n\to \infty }{S}_n$不存在，级数发散。

• 发散案例：调和级数${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots$：
  部分和$S_n=1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}$，其极限为$+\infty$（可通过“积分放缩”证明），故级数发散。

给你一个数项级数，如何判断它是收敛还是发散呢？

第一步：先验证“收敛的必要条件”（如果一个级数连收敛的必要条件都不满足，那这个级数肯定不收敛，肯定是发散的）

对任意数项级数${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$，若一般项的极限不为0，则级数必发散（这是“收敛的必要条件”，而非充分条件）：
$\text{若 }{\lim }_{n\to \infty }{u}_n\ne 0\Rightarrow {\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n\text{ 发散}$

• 注意：若${\lim }_{n\to \infty }{u}_n=0$，级数仍可能发散（如调和级数$\sum \frac{1}{n}$，虽${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n}=0$，但级数发散），需进一步用其他方法判断。

• 案例：级数${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{n}{n+1}$，因${\lim }_{n\to \infty }\frac{n}{n+1}=1\ne 0$，直接判断发散。

第二步：根据级数类型选择针对性方法

级数按$u_n$符号的特征可分为三类：正项级数（每一项都是正数）、交错级数（任意相邻两项的符号相反）、任意项级数（每一项的符号任意）

对于不同类型的数项级数，我们有不同的针对性方法来判断它们是否收敛
，判断方法各有侧重：

类型1：正项级数（$u_n\ge 0$对所有$n$成立）

正项级数的核心性质：部分和数列{Sn}\{S_n\}{Sn​}单调递增（因每加一项都是非负数）。根据“单调有界数列必有极限”，正项级数收敛的充要条件是“部分和数列有上界”。基于此，衍生出以下常用判别法：

判别法	核心思想	适用场景
比较判别法	若$0\le u_n\le v_n$（对所有$n\ge N$）： 1. 若$\sum v_n$收敛，则$\sum u_n$收敛； 2. 若$\sum u_n$发散，则$\sum v_n$发散。	已知一个“基准级数”（如等比级数、p-级数）的敛散性，用于比较未知级数。
比较判别法的极限形式	若${\lim }_{n\to \infty }\frac{u_n}{v_n}=l$（$v_n>0$）： 1. 若$0<l<+\infty$，则$\sum u_n$与$\sum v_n$同敛散； 2. 若$l=0$，且$\sum v_n$收敛，则$\sum u_n$收敛； 3. 若$l=+\infty$，且$\sum v_n$发散，则$\sum u_n$发散。	避免“逐项比较”的繁琐，只需计算极限，适用范围更广。
比值判别法（达朗贝尔判别法）	若${\lim }_{n\to \infty }\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho$（$u_n>0$）： 1. 若$\rho <1$，则$\sum u_n$收敛； 2. 若$\rho >1$（或$\rho =+\infty$），则$\sum u_n$发散； 3. 若$\rho =1$，判别法失效（需换其他方法）。	一般项含“阶乘”“指数”（如$n!$、$2^n$）的正项级数，极限易计算。
根值判别法（柯西判别法）	若${\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{u_n}=\rho$（$u_n\ge 0$）： 1. 若$\rho <1$，则$\sum u_n$收敛； 2. 若$\rho >1$（或$\rho =+\infty$），则$\sum u_n$发散； 3. 若$\rho =1$，判别法失效。	一般项含“n次幂”（如$(1+\frac{1}{n}{)}^n$、$(\frac{n}{2n+1}{)}^n$）的正项级数。
积分判别法	若$u_n=f(n)$，且$f(x)$在$[1,+\infty )$上“非负、连续、单调递减”： 则${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$与反常积分${\int }_1^{+\infty }f(x)dx$同敛散。	一般项为“可积函数值”的级数（如 p-级数$\sum \frac{1}{n^p}$，可通过积分${\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x^p}dx$判别）。

• 重要基准级数：p-级数${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}$：
  • 当$p>1$时，收敛（如$\sum \frac{1}{n^2}$收敛）；
  • 当$p\le 1$时，发散（如$p=1$时的调和级数）。

类型2：交错级数（一般项正负交替，形如${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{u}_n$或${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^n{u}_n$，其中$u_n>0$）

核心判别法：莱布尼茨判别法（充分不必要条件）：
若交错级数${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{u}_n$满足以下两个条件，则级数收敛：

1. 数列{un}\{u_n\}{un​}单调递减：$u_{n+1}\le u_n$（对所有$n\ge N$）；
2. 一般项的极限为0：${\lim }_{n\to \infty }{u}_n=0$。

• 案例：交错调和级数${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{1}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots$：
  满足$u_n=\frac{1}{n}$单调递减且${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n}=0$，故收敛（但其绝对值级数$\sum \frac{1}{n}$发散，属于“条件收敛”）。

类型3：任意项级数（一般项可正、可负、可零）

任意项级数的敛散性需区分“绝对收敛”和“条件收敛”：

1. 绝对收敛：若级数的“绝对值级数”${\sum }_{n=1}^{\infty }|u_n|$收敛，则原级数${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$必收敛，称为绝对收敛；
2. 条件收敛：若级数${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛，但绝对值级数$\sum |u_n|$发散，则称为条件收敛。

• 判断逻辑：
  先判断绝对值级数$\sum |u_n|$的敛散性（用正项级数的判别法，如比值、根值法）：

  • 若$\sum |u_n|$收敛 → 原级数绝对收敛；
  • 若$\sum |u_n|$发散 → 再判断原级数本身是否收敛（如交错级数用莱布尼茨判别法，或其他方法），若原级数收敛则为条件收敛，否则发散。

• 案例：级数${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{n^2}$：
  绝对值级数$\sum \frac{1}{n^2}$是p=2>1的p-级数，收敛 → 原级数绝对收敛。

判断抽象级数的敛散性

判断抽象级数的敛散性的经典反例

让我们记住这个例子：$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{1}{\sqrt{n}}$收敛。一个例子可以打败百分之八十的假命题

剩下百分之二十，再想想这个例子：$\sum _{n=2}^{\infty }(-1{)}^n\frac{1}{\ln n}$收敛，但$\sum _{n=2}^{\infty }\frac{1}{n\ln n}$发散

下面就是使用的示例

注意，下面写的都是假命题！

• 若$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛，则$\sum _{n=1}^{\infty }|u_n|$收敛

  • 反例：$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{1}{n}$收敛，但$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$发散

• 若$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛，则$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n^2$收敛

  • 反例：$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{1}{\sqrt{n}}$收敛，但$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$发散

• 若$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛，$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n{u}_{n+1}$收敛

  • 反例：$u_n=(-1{)}^n\frac{1}{\sqrt{n}}$，$u_n{u}_{n+1}=(-1{)}^n\frac{1}{\sqrt{n}}(-1{)}^{n+1}\frac{1}{\sqrt{n+1}}=-\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}$，$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n{u}_{n+1}$发散

• 若$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛，则$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{u_n}{n}$收敛

  • 反例：$\sum _{n=2}^{\infty }(-1{)}^n\frac{1}{\ln n}$收敛，但$\sum _{n=2}^{\infty }\frac{1}{n\ln n}$发散

具体例子

① 若$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛，则$\sum _{n=1}^{\infty }|u_n|$不定

• 例如$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{1}{n}$收敛，但$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$发散

② 设$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛

• 若$u_n>=0$，$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n^2$收敛（$\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0$，从某项起，$u_n<1$，$u_n^2<u_n$），
• 若$u_n$ 任意，则$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n^2$不定（例如$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{1}{\sqrt{n}}$收敛，但$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$发散）。

③ 设$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛

• 若$u_n>=0$，则$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n{u}_{n+1}$收敛$\left(u_n{u}_{n+1}⩽\frac{u_n^2+u_{n+1}^2}{2}\right)$
• 若$u_n$任意，$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n{u}_{n+1}$不定（例如$u_n=(-1{)}^n\frac{1}{\sqrt{n}}$，$u_n{u}_{n+1}=(-1{)}^n\frac{1}{\sqrt{n}}(-1{)}^{n+1}\frac{1}{\sqrt{n+1}}=-\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}$，\quad级数发散）.

④ 设$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛，则$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n{u}_n$不定

• 例如$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{1}{n}$收敛，但$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$发散

⑤ 设$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛，则$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{u_n}{n}$不定

• 例如$\sum _{n=2}^{\infty }(-1{)}^n\frac{1}{\ln n}$收敛，但$\sum _{n=2}^{\infty }\frac{1}{n\ln n}$发散

⑥ 设$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛

• 若$u_n>=0$，则$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_{2n}$，$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_{2n-1}$均收敛
• $u_n$任意时，$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_{2n}$，$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_{2n-1}$不定
• 例如$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{1}{n}$收敛，但是其奇数项和与偶数项和都发散

⑦ 设$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛，则$\sum _{n=1}^{\infty }(u_{2n-1}+u_{2n})$收敛.

• 收敛级数任意加括号所得的新级数仍收敛，且和不变，但反过来推要增加$\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0$的条件
• 即只有$\sum _{n=1}^{\infty }(u_{2n-1}+u_{2n})$收敛且$\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0$，才能推出$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛. 因$S_{2n}=(u_1+u_2)+(u_3+u_4)+\cdots +(u_{2n-1}+u_{2n})$，$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_{2n}=S$存在，$S_{2n+1}=S_{2n}+u_{2n+1}$，$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_{2n+1}=S+\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_{2n+1}=S$，即可得$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛.）

⑧ 设$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛，则$\sum _{n=1}^{\infty }(u_{2n-1}-u_{2n})$不定.

• 例如$u_1+u_2+u_3+u_4+u_5+u_6+\cdots =1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots$收敛
• 但$\left(1+\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}\right)+\cdots$发散

⑨ 设$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛，则

• $\sum _{n=1}^{\infty }(u_n+u_{n+1})$收敛，$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n+\sum _{n=1}^{\infty }{u}_{n+1}$收敛，
• $\sum _{n=1}^{\infty }(u_n-u_{n+1})$收敛，$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n-\sum _{n=1}^{\infty }{u}_{n+1}$收敛.

⑩ 若$\sum _{n=1}^{\infty }|u_n|$收敛，则$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛；若$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$发散，则$\sum _{n=1}^{\infty }|u_n|$发散.

⑪ 若$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n^2$收敛，则$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{u_n}{n}$绝对收敛

• 证明思路：$\left(\left|\frac{u_n}{n}\right|⩽\frac{1}{2}\left(u_n^2+\frac{1}{n^2}\right)\right)$.

⑫ 设$a,b,c$为非零常数，且$a{u}_n+b{v}_n+c{w}_n=0$，则在$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$，$\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$和$\sum _{n=1}^{\infty }{w}_n$中只要有两个级数是收敛的，另一个必收敛.

⑬ 若$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛，$\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$收敛，则$\sum _{n=1}^{\infty }(u_n\pm v_n)$收敛.

⑭ 若$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛，$\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$发散，则$\sum _{n=1}^{\infty }(u_n\pm v_n)$发散.

⑮ 已知$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$发散，$\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$发散

• 若$u_n⩾0,v_n⩾0$，则$\sum _{n=1}^{\infty }(u_n+v_n)$发散

• 若$u_n,v_n$任意，$\sum _{n=1}^{\infty }(u_n\pm v_n)$不定.（见⑥）

⑯ 若$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛，$\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$收敛

• 当$u_n⩾0,v_n⩾0$时，$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n{v}_n$收敛$\left(u_n{v}_n⩽\frac{u_n^2+v_n^2}{2}\right)$
• 若$u_n$任意，$v_n⩾0$时，$\sum _{n=1}^{\infty }|u_n|\cdot v_n$收敛$\left(\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{|u_n|\cdot v_n}{v_n}=\underset{n\to \infty }{\lim }|u_n|=0\right)$
• 若$u_n$任意，$v_n$任意，$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n{v}_n$不定.

级数收敛的性质

1. 级数收敛的本质，就是前n项和的极限存在（部分和数列极限存在）
2. 级数收敛，其通项极限必然趋于0
3. 多个收敛级数的线性组合依然收敛
4. 一个收敛的级数去掉或者添加有限项，该级数依然收敛
5. 收敛级数的和具有唯一性

部分项级数的敛散性

对一个正项级数来说，如果它本身是收敛的，请问它的偶数项级数是否收敛？

没错，这其实涉及到正项级数的一个基本性质：若正项级数 $\sum v_n$ 收敛，则其任意部分项构成的正项级数 $\sum v_{n_k}$ 也收敛

下面我们就来尝试理解一下这个性质：我们知道，级数与它对应的部分和数列之间有着千丝万缕的联系。比如级数收敛，就等价于部分和数列的极限存在。那么要证明偶数项级数收敛，其实就可以转化成证明对应的部分和数列极限存在。而证明数列极限存在最常用的方法就是单调有界准则。下面我们就用单调有界准则，来证明上面那个基本性质

• 设原正项级数前 $n$ 项和为 $S_n$，由原级数收敛，可以得到数列{Sn}\{S_n\}{Sn​}有上界。设 sup⁡{Sn}=S\sup\{S_n\} = Ssup{Sn​}=S（$S$ 为有限常数）
• 设偶数项级数前 $k$ 项和为 $T_k=u_2+u_4+\cdots +u_{2k}$，由于原级数是正项级数，所以其偶数项级数依然是正项级数（每一项都是正数），则数列{Tk}\{T_k\}{Tk​}肯定是单调递增的
• 由于 $u_n>0$，有 $T_k=u_2+u_4+\cdots +u_{2k}<u_1+u_2+u_3+\cdots +u_{2k}=S_{2k}\le S$，即数列{Tk}\{T_k\}{Tk​} 有上界。
• 因此 ${\lim }_{k\to \infty }{T}_k$ 存在，即偶数项级数收敛。

紧接着我们也可以把这个结论推广到原正项级数的任意子级数，由于正项级数每一项都是正的，因此其所有子级数的前n项和数列{Tn}\{T_n\}{Tn​}都是单调递增的，又因为其是原正项级数的子级数，所以其少了某些项的部分和肯定不会超过原正项级数的对应前n项和。原正项级数的对应前n项和都有上界（因为原正项级数收敛），所以子级数的部分和数列肯定也有上界，最后根据单调有界准则，我们可以说明正项级数的任意子集构成的级数也是收敛的

对一个幂级数来说，请问在它的收敛域内，其对应的偶数项级数是否收敛？

对于幂级数而言，若原幂级数在其收敛域内的某点收敛，则该点处的偶数项幂级数一定收敛

首先我们要明确幂级数与偶数项幂级数的定义

1. 原幂级数：标准形式为 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+\cdots +a_n{x}^n+\dots$，其中 $a_n$ 为系数，$x$ 为变量。其收敛域是所有使级数收敛的 $x$ 的集合，具有“对称区间性”（除端点外，收敛域为 $(-R,R)$，$R$ 为收敛半径）。
2. 偶数项幂级数：取原幂级数中序号 $n$ 为偶数的项构成，形式为 ${\sum }_{k=0}^{\infty }{a}_{2k}{x}^{2k}=a_0+a_2{x}^2+a_4{x}^4+\cdots +a_{2k}{x}^{2k}+\dots$（本质是“以 $t=x^2$ 为变量的幂级数” ${\sum }_{k=0}^{\infty }{a}_{2k}{t}^k$）。

由于幂级数在收敛域内的收敛性（除端点外）是“绝对收敛”（可由比值判别法验证），即 ${\sum }_{n=0}^{\infty }|a_n{x}_0^n|$ 收敛。而偶数项幂级数的绝对值级数 ${\sum }_{k=0}^{\infty }|a_{2k}{x}_0^{2k}|$ 是 ${\sum }_{n=0}^{\infty }|a_n{x}_0^n|$ 的部分项级数（仅保留偶数项）。

根据正项级数的基本性质：若正项级数 $\sum v_n$ 收敛，则其任意部分项构成的正项级数 $\sum v_{n_k}$ 也收敛（因为部分项级数的部分和是原级数部分和的“子列”，而收敛的单调递增数列（正项级数部分和）的子列仍收敛）。

由于 ${\sum }_{n=0}^{\infty }|a_n{x}_0^n|$ 是收敛的正项级数，因此其部分项级数 ${\sum }_{k=0}^{\infty }|a_{2k}{x}_0^{2k}|$ 收敛，进而推出 偶数项幂级数 ${\sum }_{k=0}^{\infty }{a}_{2k}{x}_0^{2k}$ 绝对收敛，故收敛。

延伸：偶数项幂级数的收敛域与原级数的关系

其实收敛半径没变

幂级数

什么是函数项级数？

前面我们讨论的级数都是数项级数，它的一个最大的特点就是：其敛散性
是确定的，要么收敛，要么发散。而我们下面要讲的函数项级数就不一样了，它的敛散性是不确定的，会随着自变量x的变化而变化。

我们知道，当x的值确定时，函数项级数就退化成了一个数项级数，很有可能x取这个值时，对应的数项级数就收敛了，而x取另一个值时，对应的数项级数又发散了。因此我们研究函数项级数的一个重要的课题，就是要研究这个函数项级数在x取那些值时是收敛的，在x取哪些值时是发散的。我们在学术上面，就把上面这个问题叫做求函数项级数的收敛域

幂级数的定义

幂级数是一类特殊的函数项级数，其一般形式是以“幂函数”为通项的无穷级数，核心是将函数表示为无穷多个幂函数的和，形式如下：

1. 标准形式（以 $x=a$ 为中心的幂级数）

形如
${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n(x-a{)}^n=a_0+a_1(x-a)+a_2(x-a{)}^2+\cdots +a_n(x-a{)}^n+\cdots$
的级数称为以 $a$ 为中心（或展开点）的幂级数，其中 $a_n$（$n=0,1,2,\dots$）是幂级数的系数，$a$ 是常数，$x$ 是变量。

2. 特殊形式：以 $x=0$ 为中心的幂级数，也叫“麦克劳林级数”形式

当 $a=0$ 时，幂级数简化为
${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_n{x}^n+\cdots$
这是最常见的幂级数形式，许多基本函数（如 $e^x,\sin x,\cos x$ 等）的幂级数展开都以此为基础。

3. 核心本质

幂级数的本质是用无穷多个幂函数的线性组合来逼近一个函数，其收敛性具有“区间特性”（存在收敛区间和收敛半径），这是它区别于数项级数的关键——数项级数是“常数项的和”，而幂级数是“函数项的和”，其敛散性与变量 $x$ 的取值密切相关。

例如，指数函数 $e^x$ 的幂级数展开（麦克劳林级数）为：
$e^x={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots (x\in \mathbb{R})$
这里每一项都是 $x$ 的幂函数，通过无穷求和精确表示了 $e^x$。

常见幂级数

幂级数的收敛域介绍（阿贝尔定理）

前面我们说了，研究一个函数项级数，非常重要的一个课题就是研究它的收敛域。幂级数作为一个典型的函数项级数，当然也不例外。那到底自变量x取哪些值，能让幂级数收敛呢？

科学家阿贝尔通过研究告诉我们，对于${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n(x-a{)}^n$这样的一个幂级数，它会以 $x=a$ 为中心，存在一个收敛半径$R$。

1. 当 $x\in (a-R,a+R)，即|x-a|<R$ 时，幂级数${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n(x-a{)}^n$就是收敛的。

2. 而当 $x\in (-\infty ,a-R)\cup (a+R,+\infty )，即|x-a|<R$ 时，幂级数${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n(x-a{)}^n$肯定是发散的

3. 当 $x=a-R$ 或 $a+R$ 时，其带入之后对应数项级数的敛散性是不确定的，我们要通过前面说过的数项级数判敛的方法，来具体确定

求幂级数的收敛半径

说到这里大家肯定有个疑问：你前面这么一说，我大概知道幂级数的收敛域是啥了，但你没告诉我一个很关键的东西，那就是——幂级数的收敛半径$R$是咋求的啊？

1. 比值判别法（达朗贝尔判别法）

若幂级数系数 $a_n\ne 0$，且 ${\lim }_{n\to \infty }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=L$（$L$ 为非负实数或 $+\infty$），则收敛半径 $R$ 为：

• 当 $0<L<+\infty$ 时，$R=\frac{1}{L}$；
• 当 $L=0$ 时，$R=+\infty$（全数轴收敛）；
• 当 $L=+\infty$ 时，$R=0$（仅在 $x=x_0$ 处收敛）。

2. 根值判别法（柯西判别法）

若 ${\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{|a_n|}=\rho$（$\rho$ 为非负实数或 $+\infty$），则收敛半径 $R$ 为：

• 当 $0<\rho <+\infty$ 时，$R=\frac{1}{\rho }$；
• 当 $\rho =0$ 时，$R=+\infty$；
• 当 $\rho =+\infty$ 时，$R=0$。

看完之后是不是觉得非常似曾相识？没错！我们刚刚在正项级数的判敛法中也学过这两种方法！其实上面两种求收敛半径的方法，就是由对应的正项级数判敛法推过来的！下面我就给你简单推一下

在具体推之前，我们还要做一些铺垫工作。前面我们提到，科学家阿贝尔告诉我们，幂级数的收敛域特征非常明显，那就是会以$x=a$为圆心，某个正数$R$为收敛半径，画一个圈$(a-R,a+R)$，x取这个圈里面的值，对应的数项级数一定是绝对收敛的。x取落在这个圈外的值，对应的数项级数一定是发散的。x取这个圈边缘上的值，对应的数项级数可能发散，可能条件收敛，也可能绝对收敛

这其实有两个非常值得我们注意的点

• 第一个就是，x取收敛域圈里面的值，对应的级数不仅收敛，而且是绝对收敛（即给通项加了绝对值之后，级数仍然收敛）
• 第二个就是，当且仅当x取收敛域边缘的数，对应的数项级数才可能条件收敛（也就是说，如果一个题目告诉你，在幂函数中x取某某值，对应的数项级数条件收敛，你立即就可以确定，这个值就是收敛域的一个端点）

好了，知道这个之后，我们就可以来推导幂级数的收敛半径计算公式了

当$x$取了具体值之后，${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n(x-a{)}^n$就变成了数项级数
根据阿贝尔定理，若$x$在收敛域内，其对应的数项级数不仅收敛，而且是绝对收敛
即 当$x$在收敛域内时，${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n(x-a{)}^n$绝对收敛

即 当$x$在收敛域内时，${\sum }_{n=1}^{\infty }|a_n(x-a{)}^n|$收敛

根据上面的思路，我们也可以得出缺少某些项的幂函数的收敛半径的计算方法

3. 缺项幂级数的特殊处理

若幂级数缺少某些次数的项（如 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^{2n}$ 或 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^{2n+1}$），需将其视为函数项级数，直接对通项 $u_n(x)$ 用比值或根值判别法（对 $x$ 求极限）。

例：求 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{x^{2n}}{n\cdot 4^n}$ 的收敛半径。
令 $u_n(x)=\frac{x^{2n}}{n\cdot 4^n}$，用根值判别法：
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{|u_n(x)|}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x^2}{4}=\frac{x^2}{4}$$
令 $\frac{x^2}{4}<1$，得 $|x|<2$，故收敛半径 $R=2$。

傅里叶级数

傅里叶级数的引入

这个我觉得教材就写的贼好，直接看教材

傅里叶级数的定义

狄利克雷条件：一个周期函数在其周期内连续，或有限个第一类间断点、有限个极值点、绝对可积

傅里叶变换的核心是：对于任意一个周期函数，只要它满足狄利克雷条件，我们都可以通过傅里叶变换，将其分解为一个傅里叶级数

傅里叶级数的实函数形式

下面我们给出了傅里叶级数最常用的形式，由常数项、余弦项和正弦项组成：
$f(t)=\frac{a_0}{2}+{\sum }_{n=1}^{\infty }\left[a_n\cos (n{\omega }_{0}t)+b_n\sin (n{\omega }_{0}t)\right]$

• $\frac{a_0}{2}$：直流分量（常数项），是函数在一个周期内的平均值。
• $n{\omega }_0$：n次谐波的角频率（n为正整数，n=1时为基波，n≥2时为高次谐波）。
• $a_n、b_n$：傅里叶系数，决定各次谐波的振幅。

傅里叶级数还有一种复函数表示形式，但是不咋考，所以我们就不说了

下面我们给出上述定义中$a_n、b_n$的求法

狄利克雷收敛定理

设$f(x)$是周期为$2l$的周期函数，如果它满足狄利克雷条件，即：

1. 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点
2. 在一个周期内至多只有有限个极值点

那么$f(x)$的傅里叶级数收敛，并且

• 当$x$是$f(x)$的连续点时，级数收敛于$f(x)$；
• 当$x$是$f(x)$的间断点时，级数收敛于$\frac{1}{2}[f(x^{-})+f(x^{+})]$

经典例题

求${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}$

答案：${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$

求${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n^2}$