考研数学——曲线曲面积分篇

曲线曲面积分

第一类曲线积分

物理背景：曲线的质量计算

假设平面上有一条曲线段 $L$，其线密度（单位长度的质量）不是常数，而是曲线上点的函数 $\rho (x,y)$（若为空间曲线则为 $\rho (x,y,z)$）。如何计算这条曲线的总质量？

• 若线密度 $\rho$ 为常数，总质量 = 线密度 × 曲线长度（即 $m=\rho \cdot l$）；
• 若线密度 $\rho$ 为变量，需用“分割、近似、求和、取极限”的积分思想：
  1. 分割：将曲线 $L$ 任意分成 $n$ 个小弧段 $\Delta s_1,\Delta s_2,\dots ,\Delta s_n$（$\Delta s_i$ 既表示第 $i$ 段的弧长，也表示该弧段）；
  2. 近似：在每个小弧段 $\Delta s_i$ 上取任意一点 $({\xi }_i,{\eta }_i)$，用该点的线密度 $\rho ({\xi }_i,{\eta }_i)$ 近似整个小弧段的密度，則小弧段质量近似为 $\rho ({\xi }_i,{\eta }_i)\cdot \Delta s_i$；
  3. 求和：总质量的近似值为所有小弧段质量之和：$m\approx {\sum }_{i=1}^n\rho ({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta s_i$；
  4. 取极限：记所有小弧段的最大长度为 λ=max⁡{Δs1,…,Δsn}\lambda = \max\{\Delta s_1, \dots, \Delta s_n\}λ=max{Δs1​,…,Δsn​}，当 $\lambda \to 0$ 时，若和式的极限存在，则该极限即为曲线的总质量：
     $m={\lim }_{\lambda \to 0}{\sum }_{i=1}^n\rho ({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta s_i$

第一类曲线积分的定义

将上述物理问题抽象为数学定义：

（1）平面曲线的第一类曲线积分
设 $L$ 是平面上的光滑曲线段（切线连续变化），$f(x,y)$ 是定义在 $L$ 上的有界函数。若极限
${\int }_{L}f(x,y)ds={\lim }_{\lambda \to 0}{\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta s_i$
存在，则称该极限为 函数 $f(x,y)$ 在曲线 $L$ 上对弧长的曲线积分（即第一类曲线积分）。

• 若 $L$ 是闭合曲线（首尾相连），积分记为 ${\oint }_{L}f(x,y)ds$；
• 若 $f(x,y)=1$，则积分结果就是曲线 $L$ 的长度：${\int }_{L}1\cdot ds=l$（$l$ 为 $L$ 的弧长）。

（2）空间曲线的第一类曲线积分
类似地，若 $\Gamma$ 是空间中的光滑曲线段，$f(x,y,z)$ 定义在 $\Gamma$ 上，则其第一类曲线积分为：
${\int }_{\Gamma }f(x,y,z)ds={\lim }_{\lambda \to 0}{\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta s_i$

计算方法：转化为定积分

第一类曲线积分的核心计算思路是参数化曲线，将其转化为关于参数的定积分（本质是“弧长元素 $ds$ 的参数化”）。

1. 平面曲线 $L$ 的三种参数形式

（1）参数方程形式（最通用）
设 $L$ 的参数方程为：
$\{\begin{array}{l}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}(t\in [\alpha ,\beta ])$
其中 $\phi (t),\psi (t)$ 在 $[\alpha ,\beta ]$ 上具有连续导数，且 ${\phi }^{\prime 2}(t)+{\psi }^{\prime 2}(t)\ne 0$（保证曲线光滑）

• 弧长元素 $ds$ 的参数化公式：
  $ds=\sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}dt=\sqrt{{\phi }^{\prime 2}(t)+{\psi }^{\prime 2}(t)}dt$

• 积分转化公式：
  ${\int }_{L}f(x,y)ds={\int }_{\alpha }^{\beta }f\left(\phi (t),\psi (t)\right)\cdot \sqrt{{\phi }^{\prime 2}(t)+{\psi }^{\prime 2}(t)}dt$
  注意：定积分的上下限需满足 $\alpha <\beta$（因 $ds>0$，参数 $t$ 需从“小”到“大”遍历曲线）。

（2）直角坐标形式（$y=y(x)$）
若 $L$ 由 $y=y(x)$（$x\in [a,b]$）表示，且 $y(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续可导，则可将 $x$ 视为参数（$t=x$），参数方程为：
$\{\begin{array}{l}x=x\\ y=y(x)\end{array}(x\in [a,b])$

• 弧长元素 $ds=\sqrt{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}dx$

• 积分公式：
  ${\int }_{L}f(x,y)ds={\int }_a^{b}f\left(x,y(x)\right)\cdot \sqrt{1+y^{\prime 2}(x)}dx(a<b)$

（3）极坐标形式（$r=r(\theta )$）
若 $L$ 由极坐标方程 $r=r(\theta )$（$\theta \in [{\theta }_1,{\theta }_2]$）表示，且 $r(\theta )$ 在 $[{\theta }_1,{\theta }_2]$ 上连续可导，利用极坐标与直角坐标的关系 $x=r(\theta )\cos \theta$，$y=r(\theta )\sin \theta$，参数方程为：
$\{\begin{array}{l}x=r(\theta )\cos \theta \\ y=r(\theta )\sin \theta \end{array}(\theta \in [{\theta }_1,{\theta }_2])$

• 弧长元素 $ds=\sqrt{{\left(\frac{dx}{d\theta }\right)}^2+{\left(\frac{dy}{d\theta }\right)}^2}d\theta =\sqrt{r^2(\theta )+r^{\prime 2}(\theta )}d\theta$

• 积分公式：
  ${\int }_{L}f(x,y)ds={\int }_{{\theta }_1}^{{\theta }_2}f\left(r(\theta )\cos \theta ,r(\theta )\sin \theta \right)\cdot \sqrt{r^2(\theta )+r^{\prime 2}(\theta )}d\theta ({\theta }_1<{\theta }_2)$

2. 空间曲线 $\Gamma$ 的参数形式

设 $\Gamma$ 的参数方程为：
$\{\begin{array}{l}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\\ z=\omega (t)\end{array}(t\in [\alpha ,\beta ])$
其中 $\phi (t),\psi (t),\omega (t)$ 在 $[\alpha ,\beta ]$ 上连续可导，且 ${\phi }^{\prime 2}(t)+{\psi }^{\prime 2}(t)+{\omega }^{\prime 2}(t)\ne 0$。

• 弧长元素 $ds=\sqrt{{\phi }^{\prime 2}(t)+{\psi }^{\prime 2}(t)+{\omega }^{\prime 2}(t)}dt$

• 积分公式：
  ${\int }_{\Gamma }f(x,y,z)ds={\int }_{\alpha }^{\beta }f\left(\phi (t),\psi (t),\omega (t)\right)\cdot \sqrt{{\phi }^{\prime 2}(t)+{\psi }^{\prime 2}(t)+{\omega }^{\prime 2}(t)}dt(\alpha <\beta )$

第一类曲线积分的应用场景

第一类曲线积分的核心应用是计算曲线的“分布量”，常见场景包括：

1. 曲线的质量：若线密度为 $\rho (x,y)$（或 $\rho (x,y,z)$），则质量 $m={\int }_L\rho ds$；

2. 曲线的重心（形心）：

   • 平面曲线的重心 $(\bar{x},\bar{y})$：$\bar{x}=\frac{1}{m}{\int }_{L}x\rho ds$，$\bar{y}=\frac{1}{m}{\int }_{L}y\rho ds$；
   • 若 $\rho =1$（均匀曲线），则为形心，此时 $m=l$（曲线长度）。

3. 曲线的转动惯量：

   • 对 $x$ 轴的转动惯量 $I_x={\int }_L{y}^2\rho ds$；
   • 对原点的转动惯量 $I_O={\int }_L(x^2+y^2)\rho ds$。

第二类曲线积分

物理背景

第二类曲线积分（也称为“对坐标的曲线积分”）起源于对变力沿曲线做功的计算。假设一个质点在变力$\vec{F}(x,y,z)=P(x,y,z)\vec{i}+Q(x,y,z)\vec{j}+R(x,y,z)\vec{k}$的作用下，沿空间曲线$L$从点$A$移动到点$B$，则变力所做的功可通过第二类曲线积分表示。

数学定义和表达式

设曲线$L$是从点$A$到点$B$的有向曲线段，函数$P(x,y)$、$Q(x,y)$在$L$上有界，则第二类曲线积分定义为：

• 平面曲线积分：
  ${\int }_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy$
  其中，$dx$和$dy$分别是曲线$L$在$x$轴和$y$轴上的有向投影。

• 空间曲线积分：
  ${\int }_{L}P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz$

计算方法1：参数方程法

设曲线$L$的参数方程为：

• 平面情形：$x=x(t)$，$y=y(t)$，当$t$从$\alpha$变到$\beta$时，点$(x,y)$从$A$沿$L$到$B$，则：
  ${\int }_{L}Pdx+Qdy={\int }_{\alpha }^{\beta }\left[P(x(t),y(t))x^{\prime }(t)+Q(x(t),y(t))y^{\prime }(t)\right]dt$

• 空间情形：$x=x(t)$，$y=y(t)$，$z=z(t)$，则：
  ${\int }_{L}Pdx+Qdy+Rdz={\int }_{\alpha }^{\beta }\left[P{x}^{\prime }+Q{y}^{\prime }+R{z}^{\prime }\right]dt$

计算方法2：格林公式

什么是格林公式？

设区域 $D\subset {\mathbb{R}}^2$ 满足：

• $D$ 为有界闭区域
• 边界是一条分段光滑的简单闭曲线 $C=\partial D$
• $P(x,y),Q(x,y)$ 在包含 $D$ 的开区域上连续可偏导

且曲线 $C$ 的方向为 沿边界的逆时针方向（正向），
则：

$$\boxed{{\oint }_C\left(Pdx+Qdy\right)={\iint }_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA}$$

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格林公式的几何含义

• 左边：围着边界曲线 $C$ 转一圈所做的“环量”
• 右边：区域内部的“整体旋度”的面积积分

也就是说：

边界上的环流 = 区域内的旋度之和

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格林公式中曲线的正向方向（非常重要）

格林公式对方向有严格要求：

• 我们规定格林公式中曲线的正向为逆时针，也就是区域在行进方向的 左侧
• 如果实际计算的时候发现曲线的方向是 顺时针，则化为二重积分之后需要在前面多加一个负号：

$${\oint }_C^{\text{顺时针}}(Pdx+Qdy)=-{\iint }_D\left(Q_x-P_y\right)dA$$

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用第二类曲线积分描述平面图形的面积公式

① 基本公式
取：

$$P=0,Q=x$$

得：

$$A(D)={\iint }_{D}1dA={\oint }_{C}xdy.$$

或取 $P=-y,Q=0$：

$$A(D)={\oint }_C-ydx.$$

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② 面积的对称形式

$$A(D)=\frac{1}{2}{\oint }_C(xdy-ydx)$$

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格林公式的物理意义（旋度与环流）

格林公式是二维的 Stokes 定理：

$$\text{边界上的环流}=\text{区域内部旋度之和}$$

• 若 $Q_x-P_y=0$，则线积分与路径无关

• 若区域单连通，则存在势函数 $\varphi$，使得

  $$P={\varphi }_x,Q={\varphi }_y.$$

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⭐ 小结

格林公式：

$${\oint }_C(Pdx+Qdy)={\iint }_D(Q_x-P_y)dA$$

要求：

• $C$ 逆时针
• $P,Q$ 一阶连续可偏导
• $C$ 为简单闭曲线
• $D$ 是 $C$ 围成的区域

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对于一个积分与路径无关的场，是不是任意闭合曲线在该场中的第二类曲线积分都是0？

当然是的，在无旋场中，积分与路径无关，只与曲线的起点和终点位置有关，因为闭合曲线的起点和终点是重合的，所以无旋场中环路曲线积分始终为0。

既然如此，请你解释解释，在下面这个例子中，通过计算我们发现$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$，为什么这个闭合环路积分不为0呢？

原因很简单，因为我们前面说的条件中明确说了 “对于一个积分与路径无关的场”，这就意味着场中的任意一点，都要满足$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$，而在上面的例子中，$(0,0)$这一点就不满足，为啥呢？因为在$(0,0)$这一点，$\frac{\partial Q}{\partial x}和\frac{\partial P}{\partial y}$都不存在！于是我们得到的无旋场，是不能包含$(0,0)$这一点的！

如何对一个中间有洞的区域使用格林公式？

例如下图红色区域，就是一个无旋场，下面我们就对这个区域使用格林公式

格林公式可以用于有多个边界的区域（含“空洞”的区域）

如果区域 $D$ 是一个“外圈”和一个“内圈（洞）”组成的环状区域，例如：

• 外边界 $C_1$：上图中的星型曲线
• 内边界 $C_2$：上图中的小椭圆

那么格林公式仍然成立，只需在 方向上进行特殊处理。

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注意这时候的曲线方向！⭐⭐ 方向规则：

边界类型	方向
外边界 $C_1$	逆时针（正向）
内边界（洞） $C_2$	顺时针（反向）

原因：格林公式要求“区域永远在曲线左侧”。

• 沿外边界逆时针走 → 区域在左侧
• 沿内边界必须顺时针走 → 才能让区域仍在左侧

所以，当区域有洞时，只有外圈和内圈的方向相反，才能应用格林公式。

题目给的外圈方向是顺时针，与正方向相反，为了方便处理，我们可以先算外圈方向是正方向时候的曲线积分，最后再将结果取反，就可以得到顺时针方向的曲线积分结果

为什么在无源场中可以换路径积分？

假设外圈曲线$C_1$的方向是逆时针，我们选取内圈$C_2$的曲线方向是顺时针，则$${\oint }_{C_1}Pdx+Qdy-{\oint }_{C_2}Pdx+Qdy={\iint }_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA.$$

由于在红色区域内，$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$始终成立，因此

$${\oint }_{C_1}Pdx+Qdy-{\oint }_{C_2}Pdx+Qdy=0$$
即
$${\oint }_{C_1}Pdx+Qdy={\oint }_{C_2}Pdx+Qdy$$

这就是保守场（无源场）可以换路径积分的原因！

计算方法3：通过斯托克斯公式转化成第二类曲面积分

第一类曲面积分

第一类曲面积分定义

设曲面$\Sigma$是光滑的，函数$f(x,y,z)$在$\Sigma$上有界。将$\Sigma$任意分成$n$个小块$\Delta S_i$（$\Delta S_i$同时表示第$i$个小块的面积），在每个$\Delta S_i$上任取一点$({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)$，作和${\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta S_i$。如果当各小块曲面的直径的最大值$\lambda \to 0$时，这个和的极限存在，则称此极限为函数$f(x,y,z)$在曲面$\Sigma$上的第一类曲面积分（或对面积的曲面积分），记作${\iint }_{\Sigma }f(x,y,z)dS$，即：
${\iint }_{\Sigma }f(x,y,z)dS={\lim }_{\lambda \to 0}{\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta S_i$
其中，$f(x,y,z)$称为被积函数，$\Sigma$称为积分曲面，$dS$称为曲面的面积元素。

第一类曲面积分物理意义

若$f(x,y,z)$是曲面$\Sigma$的面密度（单位面积的质量），则第一类曲面积分${\iint }_{\Sigma }f(x,y,z)dS$表示曲面$\Sigma$的总质量。

第一类曲面积分的计算方法（投影转化为二重积分）

设曲面$\Sigma$的方程为$z=z(x,y)$，$\Sigma$在$xOy$面上的投影区域为$D_{xy}$，函数$z=z(x,y)$在$D_{xy}$上具有连续偏导数，则第一类曲面积分可转化为以下二重积分：
${\iint }_{\Sigma }f(x,y,z)dS={\iint }_{D_{xy}}f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_x^2(x,y)+z_y^2(x,y)}dxdy$
其中，$z_x=\frac{\partial z}{\partial x}$，$z_y=\frac{\partial z}{\partial y}$，$\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy$是曲面$\Sigma$的**面积元素$dS$**的表达式。

同理，若曲面$\Sigma$的方程为$x=x(y,z)$（投影到$yOz$面）或$y=y(x,z)$（投影到$xOz$面），也可类似地转化为相应的二重积分。

计算过程中的注意事项

1. 第一类曲面积分是有对称性的！ 我们一定要尽可能地利用积分区域的对称性，对曲面积分狠狠进行化简，如果最终里面的被积函数为常数，那么曲面积分就转化为积分曲面的表面积了
2. 计算复杂的曲面积分时，一定要用好曲面表达式这一条件，通过将其代入，简化曲面积分的被积函数

第二类曲面积分

第二类曲面积分的定义

设$\Sigma$是有向光滑曲面（规定了侧，如左侧、右侧、上侧、下侧等），函数 $R(x,y,z)$ 在$\Sigma$上有界。将$\Sigma$任意分成$n$个小块$\Delta S_i$（$\Delta S_i$同时表示第$i$个小块的面积），$\Delta S_i$在$xOy$面上的投影为$(\Delta S_i{)}_{xy}$（投影有正负，取决于$\Sigma$的侧），在$\Delta S_i$上任取一点$({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)$，作和${\sum }_{i=1}^{n}R({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)(\Delta S_i{)}_{xy}$。若当各小块曲面的直径的最大值$\lambda \to 0$时，该和的极限存在，则称此极限为函数$R(x,y,z)$在$\Sigma$上对**$x,y$坐标的曲面积分**，记作${\iint }_{\Sigma }R(x,y,z)dxdy$，即：
${\iint }_{\Sigma }R(x,y,z)dxdy={\lim }_{\lambda \to 0}{\sum }_{i=1}^{n}R({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)(\Delta S_i{)}_{xy}$

同理，可定义对$y,z$坐标的曲面积分${\iint }_{\Sigma }P(x,y,z)dydz$和对$x,z$坐标的曲面积分${\iint }_{\Sigma }Q(x,y,z)dxdz$。

第二类曲面积分的一般形式为这三个积分的和：
${\iint }_{\Sigma }Pdydz+Qdxdz+Rdxdy$

第二类曲面积分的物理意义

若$\vec{v}(x,y,z)=P\vec{i}+Q\vec{j}+R\vec{k}$是流速场（单位时间内流体通过单位面积的流量），则第二类曲面积分${\iint }_{\Sigma }Pdydz+Qdxdz+Rdxdy$表示单位时间内流体通过有向曲面$\Sigma$的流量（通量）。

基本计算方法：投影法

设曲面$\Sigma$的方程为$z=z(x,y)$，$\Sigma$在$xOy$面上的投影区域为$D_{xy}$，函数$z=z(x,y)$在$D_{xy}$上具有连续偏导数：

• 若$\Sigma$取上侧（法向量与$z$轴正方向夹角为锐角），则
  ${\iint }_{\Sigma }R(x,y,z)dxdy={\iint }_{D_{xy}}R(x,y,z(x,y))dxdy$
• 若$\Sigma$取下侧（法向量与$z$轴正方向夹角为钝角），则
  ${\iint }_{\Sigma }R(x,y,z)dxdy=-{\iint }_{D_{xy}}R(x,y,z(x,y))dxdy$

同理，对于${\iint }_{\Sigma }Pdydz$（曲面$\Sigma :x=x(y,z)$，投影到$yOz$面，区分左侧/右侧）和${\iint }_{\Sigma }Qdxdz$（曲面$\Sigma :y=y(x,z)$，投影到$xOz$面，区分前侧/后侧），也可类似转化，注意方向对符号的影响。

特殊计算方法：将第二类曲面积分 转化成 第一类曲面积分

1. 求隐函数的偏导数：计算$F_x=\frac{\partial F}{\partial x}$，$F_y=\frac{\partial F}{\partial y}$，$F_z=\frac{\partial F}{\partial z}$；
2. 构造法向量：$\vec{n}=(F_x,F_y,F_z)$，定向决定符号（如取外侧时，法向量指向曲面外）；
3. 计算法向量模长：$|\vec{n}|=\sqrt{F_x^2+F_y^2+F_z^2}$；
4. 求方向余弦：$\cos \alpha =\frac{F_x}{|\vec{n}|}$，$\cos \beta =\frac{F_y}{|\vec{n}|}$，$\cos \gamma =\frac{F_z}{|\vec{n}|}$；
   其中$\cos \alpha$是法向量与$x$轴夹角的余弦
5. 利用两类曲面积分的联系转化
   第二类曲面积分可通过法向量方向余弦转化为第一类曲面积分：
   设$\Sigma$的单位法向量为$\boxed{n}=(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$，则
   $\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\cos \alpha \mathrm{d}S$，$\mathrm{d}z\mathrm{d}x=\cos \beta \mathrm{d}S$，$\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\cos \gamma \mathrm{d}S$
   因此：${\iint }_{\Sigma }P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\iint }_{\Sigma }(P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )\mathrm{d}S$
   转化为第一类曲面积分后，可利用第一类的计算方法（如投影到坐标面）求解。
6. 也可以用换底公式

   • $\frac{\mathrm{d}x\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x\mathrm{d}y}=\frac{\cos \beta }{\cos \gamma }=\frac{F_y}{F_z}$

   • $\frac{\mathrm{d}y\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x\mathrm{d}y}=\frac{\cos \alpha }{\cos \gamma }=\frac{F_x}{F_z}$

特殊计算方法：高斯公式——将 空间闭曲面上的第二类曲面积分 转化成 闭曲面所围区域内的三重积分

高斯公式内容
设空间闭区域$\Omega$是由分片光滑的闭曲面$\Sigma$围成，$\Sigma$取外侧（即闭曲面的“外法线方向”一侧）；函数$P(x,y,z)$、$Q(x,y,z)$、$R(x,y,z)$在$\Omega$上具有一阶连续偏导数，则：
$\iint Pdydz+Qdxdz+Rdxdy={\iiint }_{\Omega }\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dxdydz$

高斯公式的物理意义（通量与散度）

• 若$\vec{v}=(P,Q,R)$是流速场，则左侧的第二类曲面积分表示单位时间内流体通过闭曲面$\Sigma$的总流量（通量）。
• 右侧被积函数$\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$称为向量场$\vec{v}$的散度，记为$\text{div}\vec{v}$。高斯公式表明：闭曲面的通量等于区域内散度的三重积分，反映了“通量的来源与散度的分布”之间的关系。

高斯公式使用条件

1. 曲面$\Sigma$是闭曲面（包围一个空间区域$\Omega$）；
2. $\Sigma$取外侧（若取内侧，公式需加负号：$\iint \cdots =-{\iiint }_{\Omega }\text{div}\vec{v}dxdydz$）；
3. 函数$P,Q,R$在$\Omega$上一阶偏导数连续。

特殊计算方法：斯托克斯公式——将 空间有向闭曲线上的第二类曲线积分 转化成 以该曲线为边界的有向曲面上的第二类曲面积分

设$\Gamma$是分段光滑的空间有向闭曲线，$\Sigma$是以$\Gamma$为边界的分片光滑的有向曲面（$\Gamma$称为$\Sigma$的“边界曲线”），且$\Gamma$的正向与$\Sigma$的侧满足右手规则（右手四指沿$\Gamma$正向弯曲，拇指指向即为$\Sigma$的法向量方向）；函数$P(x,y,z)$、$Q(x,y,z)$、$R(x,y,z)$在包含$\Sigma$在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数，则：

1. 展开形式
${\oint }_{\Gamma }Pdx+Qdy+Rdz={\iint }_{\Sigma }\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)dydz+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)dxdz+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy$

2. 行列式记忆形式（更直观）
为便于记忆，公式可写成“旋度的曲面积分”形式，其中$\text{rot}\vec{v}$（或$\nabla \times \vec{v}$）表示向量场$\vec{v}=(P,Q,R)$的旋度：
${\oint }_{\Gamma }\vec{v}\cdot d\vec{l}={\iint }_{\Sigma }(\text{rot}\vec{v})\cdot d\vec{S}$
对应的行列式表达式为：
${\oint }_{\Gamma }Pdx+Qdy+Rdz={\iint }_{\Sigma }\left|\begin{array}{ccc}dydz& dxdz& dxdy\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right|$
其中，行列式按第一行展开即得展开形式，旋度$\text{rot}\vec{v}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)$。

斯托克斯公式的物理意义（环流与旋度）

• 左侧的第二类曲线积分${\oint }_{\Gamma }\vec{v}\cdot d\vec{l}$称为向量场$\vec{v}$沿闭曲线$\Gamma$的环流，表示“向量场推动质点沿$\Gamma$运动一周所做的功”（若$\vec{v}$是力场），或“流体沿$\Gamma$的旋转趋势强度”（若$\vec{v}$是流速场）。
• 右侧的曲面积分是旋度$\text{rot}\vec{v}$在曲面$\Sigma$上的通量，旋度$\text{rot}\vec{v}$描述了“向量场在某点的局部旋转强度与方向”。
  斯托克斯公式表明：向量场沿闭曲线的环流，等于其旋度通过以该曲线为边界的任意曲面的通量，反映了“整体环流”与“局部旋度”的内在联系。

斯托克斯公式的使用条件

1. 曲线与曲面的关联：$\Gamma$是$\Sigma$的边界曲线（$\Sigma$以$\Gamma$为边界，且仅以$\Gamma$为边界）；
2. 方向匹配：$\Gamma$的正向与$\Sigma$的侧必须满足右手规则（若方向相反，公式需加负号）；
3. 函数光滑性：$P,Q,R$在包含$\Sigma$的空间区域内一阶偏导数连续。

计算方法总结

写在最前面：计算复杂的曲面积分时，一定要用好曲面表达式这一条件，通过将其代入，简化曲面积分的被积函数

带入曲面表达式化简之后，依次开始考虑，能不能用高斯公式算、能不能用斯托克斯公式算，如果都不能，再考虑能不能转化成一型曲面积分来算，如果都不好办，再考虑投影法，老老实实算