斐波那契数列通项公式推导及其类似构造共轭公式反求递推式

博客主要围绕斐波那契数列展开。首先推导了斐波那契数列的通项公式,利用递推关系求解方程根得出结果。接着针对求解含根号多项式高次幂的题目,构造类似斐波那契通项公式的数列,通过反向推导求出递推关系,还提及递推式取模的求解方法。

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一、斐波那契数列通项公式推导

我们知道斐波那契数列递推公式

fn=fn1+fn2(n2)fn=fn−1+fn−2(n≥2)

fnfn1fn2=0fn−fn−1−fn−2=0

求解这个递推关系的一种方法是寻找形式为

fn=qnfn=qn
的解

因此得到

qnqn1qn2=0qn−qn−1−qn−2=0

qn2(q2q1)=0qn−2(q2−q−1)=0

所以我们求解

q2q1=0q2−q−1=0
的解

发现方程的根为

q1=1+52,q2=152q1=1+52,q2=1−52

因此

fn=(1+52)n,fn=(152)nfn=(1+52)n,fn=(1−52)n

两者都为斐波那契递推关系的解。

因为非波那契递推关系是线性的且齐次,所以对于任选常数c1,c2c1,c2

fn=c1(1+52)n+c2(152)nfn=c1(1+52)n+c2(1−52)n

因为我们知道任意fnnfn的值,所以只需枚举两个n的数解方程组即可

{ (n=0)  c1+c2=0 (n=1)  c1(1+52)+c2(152)=1{ (n=0)  c1+c2=0 (n=1)  c1(1+52)+c2(1−52)=1

解得

c1=15,c2=15c1=15,c2=−15

综上所述:

非波那契数满足公式

fn=15(1+52)n15(152)nfn=15(1+52)n−15(1−52)n

二、构造共轭公式并反求递推关系

为什么要讲这个东西呢

因为最近做到了几个题,涉及到求解含有根号的多项式的高次幂

即求解形式

(a+b)n(a+b)n

对于这样的题目的求解,我们必然要联想非波那契通项公式

因此我们会构造数列

fn=(a+b)n+(ab)nfn=(a+b)n+(a−b)n

类似于非波那契通项公式对吧

那么这个数列怎么求呢,我们要是知道递推关系就好了

所以下面说一下怎么求出递推关系

其实看了上面非波那契数列通项公式的推导过程大家就明白了,就是上面的过程倒着来一边嘛

我们设的推关系满足形式:

fn=pfn1+qfn2fn=p⋅fn−1+q⋅fn−2

类比上面推导过程相当于我们已经知道了方程

f2pfq=0f2−pf−q=0

的两个解
f1=a+b,f2=abf1=a+b,f2=a−b

所以带入求解p,q即可

最终得到:

{ p=2a q=ba2{ p=2a q=b−a2

因此我们得到了递推式

fn=2afn1+(ba2)fn2fn=2a⋅fn−1+(b−a2)⋅fn−2

对于这样递推式的求解对于取模的情况,我们可以尝试打表看看取模有没有循环节,如果发现有那就可以直接线性预处理出循环节长度即可,否则用矩阵快速幂,可以解决所有递推式的快速求解

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