Problem about GCD（找规律+大素数判断+分解因子）

Problem about GCD

 Given integer m. Find multiplication of all 1<=a<=m such gcd(a, m)=1 (coprime with m) modulo m. 

Input
Input contains multiple tests, one test per line.
Last line contains -1, it should be skipped.

[Technical Specification]
m <= 10^18

Output
For each test please output result. One case per line. Less than 160 test cases.
Sample Input

1
2
3
4
5
-1

Sample Output

0
1
2
3
4

题意：

给定一个数N$（N \le 10^{18}）$求出N以内的和N互质的数的乘积再模N

分析：

这道题通过打表可以发现规律

而这实际上数论中的一个结论：

N为1，2，4，以及只有一个质因子(奇数)或者它的$\frac{1}{2}$只有一个质因子(偶数)，答案是N-1.其余情况答案均是 1。

因为N很大，所以不可能将质因子全部分解，我们发现对于一个数N它的质因子最多只能有2个大于1e6的，因为3个1e6的质因子相乘就等于1e18了，故根据这个性质，我们只需要筛选出1e6范围内的素数即可

然后将N分解，如果有多于1种质因子则答案为1，而分解完之后剩下的数只有一下四种情况

1）为1，并且素因子种类数为1

2）为1，并且素因子种类数大于1

3）大于1，素因子种类数大于1了

4）大于1，种类数恰好一种这说明这个数本身可能是素数，而判断他是素数因为数太大我们只能使用大素数测试的方法即（拉宾米勒的合数测试），而如果不是素数还有一种可能情况，就是它是两个大于1e6的素因子的乘积，因此我们看一下是不是完全平方数即可（因为最多两个这样的素因子）

code：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e6+10;
const int S = 8;
ll x;
ll prime[maxn],isprime[maxn],cnt;
void init(){
    cnt = 0;
    memset(isprime,true,sizeof(isprime));
    isprime[0] = isprime[1] = false;
    for(int i = 2 ; i < maxn; i++){
        if(isprime[i]){
            prime[cnt++] = i;
            for(int j = i+i; j < maxn; j += i){
                isprime[j] = false;
            }
        }
    }
}

ll mul(ll a,ll b,ll mod){
    ll ans = 0;
    while(b){
        if(b & 1)
            ans = (ans + a) % mod;
        a = (a + a) % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

ll q_pow(ll a,ll b,ll mod){
    ll ans = 1;
    while(b){
        if(b & 1)
            ans = mul(ans,a,mod);
        a = mul(a,a,mod);
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

bool check(ll a,ll n,ll x,ll t){
    ll ret = q_pow(a,x,n);
    ll last = ret;
    for(int i = 1; i <= t; i++){
        ret = mul(ret,ret,n);
        if(ret == 1 && last != 1 && last != n-1) return true;
        last = ret;
    }
    if(ret != 1) return true;
    return false;
}

bool Miller_Rabin(ll n){
    if(n < 2) return false;
    if(n == 2) return true;
    if((n & 1) == 0) return false;
    ll x = n - 1;
    ll t = 0;
    while((x & 1) == 0){
        x >>= 1;
        t++;
    }
    for(int i = 0; i < S; i++){
        ll a = rand() % (n - 1) + 1;
        if(check(a,n,x,t))
            return false;
    }
    return true;
}

bool judge(ll x){
    ll num = 0;
    for(int i = 1; prime[i] <= x && i < cnt; i++){
        if(x % prime[i] == 0){
            num++;
            while(x % prime[i] == 0) x /= prime[i];
            if(num > 1) return false;//素因子种类大于1返回false
        }
        if(x == 1) break;
    }
    if(x > 1) num++;//如果剩余大于1种类+1
    if(num > 1) return false;//加上最后一个数素因子种类大于1了返回false
    if(Miller_Rabin(x)) return true;//如果种类数为1，判断是不是素数是就返回true
    ll m = (ll)sqrt(x*1.0);//否则再看是否是完全平方数，因为这样素因子只有一种而且大于1e6的素因子最多两个
    if(m * m == x) return true;
    return false;//其他只能返回false如两个不同的大于1e6的素因子就不行
}
int main(){
    init();
    while(scanf("%lld",&x) != EOF){
        if(x == -1) break;
        if(x != 4 && x % 4 == 0){
            printf("1\n");
            continue;
        }
        if(x == 1 || x == 2 || x == 4){
            printf("%lld\n",x-1);
            continue;
        }
        if(x & 1){//奇数直接判断
            if(judge(x))
                printf("%lld\n",x-1);
            else
                printf("1\n");
        }
        else{//偶数除以2后再判断
            if(judge(x/2))
                printf("%lld\n",x-1);
            else
                printf("1\n");
        }
    }
    return 0;
}