X问题（中国剩余定理不互质情况）

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本文介绍了一种利用中国剩余定理解决特定数学问题的方法，该问题是找出在一定范围内满足一组同余方程的整数个数。通过给出具体的算法实现代码，详细解释了如何求解最小正整数解，并通过求解通解来统计满足条件的整数数量。

X问题

 求在小于等于N的正整数中有多少个X满足：X mod a[0] = b[0], X mod a[1] = b[1], X mod a[2] = b[2], …, X mod a[i] = b[i], … (0 < a[i] <= 10)。

Input
输入数据的第一行为一个正整数T，表示有T组测试数据。每组测试数据的第一行为两个正整数N，M (0 < N <= 1000,000,000 , 0 < M <= 10)，表示X小于等于N，数组a和b中各有M个元素。接下来两行，每行各有M个正整数，分别为a和b中的元素。
Output
对应每一组输入，在独立一行中输出一个正整数，表示满足条件的X的个数。
Sample Input

3
10 3
1 2 3
0 1 2
100 7
3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7
10000 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Sample Output

1
0
3

依然是套用中国剩余定理不互质情况下的模板

然后求出最小正整数解（注意必须要求最小正整数解）

根据通解形式

$x = x_0+ k\cdot lcm$

只需要解不等式

$x_0 + k\cdot lcm \le N$

$k \le \frac{N-x_0}{lcm}$

即可，注意要判断 $x_0$ 必须是小于N的

code:

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
bool flag;
ll m[100],a[100],lcm;
ll gcd(ll a,ll b){
    return b ? gcd(b,a%b) : a;
}
ll ex_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    if(!b){
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    ll g = ex_gcd(b,a%b,y,x);
    y -= a / b * x;
    return g;
}
ll China(ll n){
    ll m1 = m[0],a1 = a[0];
    ll m2,a2,k1,k2,x0,g,c;
    lcm = m[0];
    for(int i = 1; i < n; i++){
        m2 = m[i];
        a2 = a[i];
        c = a2 - a1;
        g = ex_gcd(m1,m2,k1,k2);
        lcm = lcm * m[i] / gcd(lcm,m[i]);
        if(c % g){
            flag = false;
            return 0;
        }
        x0 = k1 * c / g;
        ll t = m2 / g;
        x0 = (x0 % t + t) % t;
        a1 += m1 * x0;
        m1 = m2 / g * m1;
    }
    return a1;
}
int main(){
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        ll N;
        int n;
        scanf("%lld%d",&N,&n);
        for(int i = 0; i < n; i++) scanf("%lld",&m[i]);
        for(int i = 0; i < n; i++) scanf("%lld",&a[i]);
        flag = true;
        ll ans = China(n);
        if(!flag || ans > N){
            printf("0\n");
        }
        else{
            if(ans <= 0) ans += lcm;
            ans = (N - ans) / lcm + 1;
            printf("%lld\n",ans);
        }
    }
    return 0;
}