中国剩余定理（除数不互质）

最新推荐文章于 2022-11-27 16:43:12 发布

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本文探讨了中国剩余定理在除数不互质情况下的解法，通过扩展欧几里得算法求解最小解。通过逐步合并方程，将每个模数对应的余数条件转化为新的方程，最终求得所有模数条件下最小的x值。这种方法适用于处理多个不互质模数的同余方程组问题。

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对于 x%mod[1]=a[1]

x%mod[2]=a[2]

x%mod[3]=a[3]

...

mod[i] 之间不一定互质，求解最小x。

对于 mod[i] 之间不一定互质的情况，需要将剩余定理修改一点。

对于第一个方程 x[0]%mod[0]=a[0] ，可知 x[0] 的最小解即为 a[0] 。对于第二个方程 x[1]%mod[1]=a[1] ，假设 x[1]=x[0]+mod[0]*k ，这样 x[1] 可以既满足第一个方程也满足第二个方程，得到 (x[0]+mod[0]*k)%mod[1]=a[1]。此方程可由扩展欧几里得的思想化为 x[0]+mod[0]*k+mod[1]*y=a[1]

mod[0]*k+mod[1]*y=a[1]-x[0]