中国剩余定理算法详解(余数互质和不互质）

参考：
中国剩余定理：
http://itdocument.com/7701006441/
http://www.cppblog.com/qywyh/archive/2007/08/27/30943.aspx
扩展欧几里得算法：
http://blog.youkuaiyun.com/dafang_xu/article/details/50186653
中国剩余定理介绍
在《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3 余2），
五五数之剩三（除以5 余3），七七数之剩二（除以7 余2），问物几何？”这个问题称为“孙
子问题”，该问题的一般解法国际上称为“中国剩余定理”。具体解法分三步：

找出三个数：从3 和5 的公倍数中找出被7 除余1 的最小数15，从3 和7 的公倍数中找出被
5 除余1 的最小数21，最后从5 和7 的公倍数中找出除3 余1 的最小数70。
用15 乘以2（2 为最终结果除以7 的余数），用21 乘以3（3 为最终结果除以5 的余数），同
理，用70 乘以2（2 为最终结果除以3 的余数），然后把三个乘积相加（15*2+21*3+70*2）得
到和233。
用 233 除以 3，5，7 三个数的最小公倍数 105，得到余数 23，即 233%105=23。这个余数 23
就是符合条件的最小数。
就这么简单。我们在感叹神奇的同时不禁想知道古人是如何想到这个方法的，有什么基
本的数学依据吗？

中国剩余定理分析
我们将“孙子问题”拆分成几个简单的小问题，从零开始，试图揣测古人是如何推导出
这个解法的。

首先，我们假设n1 是满足除以3 余2 的一个数，比如2，5，8 等等，也就是满足3*k+2
（k>=0）的一个任意数。同样，我们假设 n2 是满足除以 5 余 3 的一个数，n3 是满足除以 7
余2 的一个数。

有了前面的假设，我们先从n1这个角度出发，已知n1满足除以3余2，能不能使得 n1+n2
的和仍然满足除以3 余2？进而使得n1+n2+n3 的和仍然满足除以3