关系模式的第三范式、Boyce-Codd 范式（关系型数据库理论）

关系模式的第三范式（3NF）

若一个关系模式满足第二范式，并且每一个非键属性都不传递函数依赖于任何一个候选键，那么就称该关系模式是满足第三范式（third normal form，3NF）的。比如下图左侧的关系模式便不满足第三范式：

与第二范式类似，不满足第三范式的关系模式可能存在以下几个问题（以图中左侧关系模式为例，其中{StudentId}是一个候选键同时也是主键）：

• 插入异常。若要向表中添加一个新部门的信息，但还未招收学生，那么会导致StudentId等字段的值为空，这是不被允许的；
• 修改复杂。若某部门（比如CS）的信息需要更新，这需要同时修改Department Location字段的第 1、2 行处的值；
  而将其规范化为满足第三范式的右侧几个关系模式后，将不再存在上述问题，并且数据冗余减少、占用的存储空间也会下降

关系模式的 3NF 规范化（合成法）

给定一个关系模式 $R(U,F)$，按照下面的算法可以得到一个对该模式的保持函数依赖的分解 $\rho$，使其规范化为满足 3NF 的一组子关系模式：

1. 对 $R(U,F)$ 中的函数依赖集 $F$ 进行极小化处理，处理后的依赖集记为 $F^{\prime }$；
2. 找出所有不在 $F^{\prime }$ 中出现的属性（记为 $U_0$），构成一个关系模式 $R_0(U_0,F_0)$，记 $U^{\prime }=U-U_0$；
3. 若有 $X\to A\in F^{\prime }$ 且 $X\cup A=U^{\prime }$，那么 ρ = { R ( U , F ) } \rho=\{R(U,F)\} ρ={R(U,F)}，算法终止；
4. 否则，对 $F^{\prime }$ 中的全部函数依赖按具有相同左部的原则分组，假定分得 $k$ 组，每一组函数依赖所涉及的全部属性形成一个属性集 $U_i$（若有 $U_i\subseteq U_j(i\ne j)$ 就去掉 $U_i$）；
5. 于时最终 ρ = { R 1 ( U 1 , F 1 ) , ⋯   , R k ( U k , F k ) } ⋃ R 0 ( U 0 , F 0 ) \rho=\{R_1(U_1,F_1),\cdots,R_k(U_k,F_k)\}\bigcup R_0(U_0,F_0) ρ={R1​(U1​,F1​),⋯,Rk​(Uk​,Fk​)}⋃R0​(U0​,F0​)，算法终止．

首先知道，按上面过程得到的分解是保持函数依赖的，其次可以证明得到的 $k$ 个（$R_0$ 可以并入其中的一个）子关系模式都是满足 3NF 的。

当然，按该合成法得到的分解的一组子关系模式有可能还满足 BCNF（不妨以〖Boyce-Codd 范式（BCNF）〗中的例子进行测试），但普适性未加保证，需要的话可改用〖关系模式的 BCNF 规范化（分解法）〗。

以前面的示例R(StudentId, StudentName, Department, DepartmentLocation)来进行演示：

1. 分析该模式中所有的函数依赖，得到 F ′ = { S t u d e n t I d → S t u d e n t N a m e ,   S t u d e n t I d → D e p a r t m e n t ,   D e p a r t m e n t → D e p a r t m e n t L o c a t i o n } F'=\{StudentId\to StudentName,\,StudentId\to Department,\,Department\to DepartmentLocation\} F′={StudentId→StudentName,StudentId→Department,Department→DepartmentLocation}；
2. 所有属性都已在 $F^{\prime }$ 出现，因而 $U_0=\varnothing$，继续；
3. 不存在该种情况，继续；
4. 按相同左部原则分组，得到 F 1 = { S t u d e n t I d → S t u d e n t N a m e ,   S t u d e n t I d → D e p a r t m e n t } F_1=\{StudentId\to StudentName,\,StudentId\to Department\} F1​={StudentId→StudentName,StudentId→Department} 和 F 2 = { D e p a r t m e n t → D e p a r t m e n t L o c a t i o n } F_2=\{Department\to DepartmentLocation\} F2​={Department→DepartmentLocation}，以及 U 1 = { S t u d e n t I d , S t u d e n t N a m e , D e p a r t m e n t } U_1=\{StudentId,StudentName,Department\} U1​={StudentId,StudentName,Department} 和 U 2 = { D e p a r t m e n t , D e p a r t m e n t L o c a t i o n } U_2=\{Department,DepartmentLocation\} U2​={Department,DepartmentLocation}；
5. 于是最终 ρ = { R 1 ( U 1 , F 1 ) , R 2 ( U 2 , F 2 ) } \rho=\{R_1(U_1,F_1),R_2(U_2,F_2)\} ρ={R1​(U1​,F1​),R2​(U2​,F2​)}，这正与前面图中右侧的模式组一致。

确保具有无损连接性

经过上面的算法得到保持函数依赖的分解 ρ = { R 1 ( U 1 , F 1 ) , ⋯   , R k ( U k , F k ) } ⋃ R 0 ( U 0 , F 0 ) \rho=\{R_1(U_1,F_1),\cdots,R_k(U_k,F_k)\}\bigcup R_0(U_0,F_0) ρ={R1​(U1​,F1​),⋯,Rk​(Uk​,Fk​)}⋃R0​(U0​,F0​) 后，可以再执行下述步骤进一步使其具有无损连接性：

1. 假设 $X$ 是 $R(U,F)$ 的一个候选键，令 $\tau =\rho \cup R^{\ast }(X,F_x)$，其中 $R^{\ast }(X,F_x)$ 表示仅由 $X$ 构成的关系模式；
2. 若存在某 $U_i$，使得 $X\subseteq U_i$，则将 $R^{\ast }(X,F_x)$ 从 $\tau$ 中去除；使得 $X\supseteq U_i$，则将 $R_i(U_i,F_i))$ 从 $\tau$ 中去除；
3. $\tau$ 即是所求的分解。

这样最终得到的 $\tau$ 就是具有无损连接性的分解（可以证明），并且保持了函数依赖，同时还满足 3NF。以下面的R(StudID, CourseID, StudName, CourseName)（数据依赖有StudID$\to$StudName和CourseID$\to$CourseName）例子演示了该额外步骤的必要性：

关系模式的 Boyce-Codd 范式（BCNF）

假设关系模式 $R(U)$ 满足第一范式，对于 $U$ 的任意两个属性子集 $X,Y(X⊉Y)$，若 $X\to Y$ 时必有 $X$ 包含某候选键，那么就称该关系模式是满足 Boyce-Codd 范式（Boyce-Codd normal form，BCNF）的。比如下图左侧的关系模式虽然满足第三范式，但不满足 BCNF（该场景语义下规定一个教师只教一个项目）：

可以证明，满足 BCNF 的关系模式一定满足第三范式（反之不然），因此通常也认为 BCNF 是扩充的（或修正的）第三范式。下图左侧的关系模式中，由于{StudentId, ProjectId}和{StudentId, TeacherId}都是候选键，因而不存在非键属性，进而该模式满足 3NF；但由于{ProjectId}$\to${TeacherId}，而{ProjectId}不包含候选键，于是不满足 BCNF。

满足 3NF 但不满足 BCNF 的关系模式，同样可能会存在插入异常和修改复杂的问题，比如图中左侧表要添加新项目必须同时添加学生、要修改某项目信息得同时修改多处

通俗来讲就是，BCNF 要求关系模式中的决定因素（determinant）必须包含候选键，由此可以得到关于 BCNF 的等价定义：若一个关系模式的非主键属性都是完全函数依赖于主键的，那么就称该关系模式是满足 Boyce-Codd 范式的。

任何一个关系模式都可以按照合成分解法分解成满足 BCNF 的一组子关系模式

另外值得一提的是（纠正文章 Normalization in SQL (1NF - 5NF): A Beginner’s Guide 中的错误判断），下图右左两侧的两个关系模式都是满足 BCNF 的（不管场景是否规定一本书只能被一个人借一次）：

关系模式的 BCNF 规范化（分解法）

给定一个关系模式 $R(U,F)$，按照下面的算法可以得到一个关于该模式的无损连接分解（但不保证是保持函数依赖的）$\rho$，使其规范化为满足 BCNF 的一组子关系模式：

1. 令 $\rho =R(U,F)$；
2. 检查 $\rho$ 中各关系模式是否均属于 BCNF，若是，则算法终止；
3. 设 $\rho$ 中存在 $R_i(U_i,F_i)$ 不属于 BCNF，那么必有 $X\to A\in F_i^{+}(A\notin X)$ 且 $X$ 不包含 $R_i$ 的候选键。因此 $X\cup A$ 是 $U_i$ 的真子集，于是对 $R_i$ 进行分解： σ = { S 1 ( X ∪ { A } , F S 1 ) , S 2 ( U i − { A } , F S 2 ) } \sigma=\{S_1(X\cup\{A\},F_{S_1}),\enspace S_2(U_i-\{A\},F_{S_2})\} σ={S1​(X∪{A},FS1​​),S2​(Ui​−{A},FS2​​)}，以 $\sigma$ 代替 $R_i(U_i,F_i)$，返回第 2 步；

由于 $U$ 中属性有限，因而有限次循环后算法一定会终止。这是一个自顶向下的算法，它自然地形成一个对 $R(U,F)$ 的二叉分解树（不一定唯一，与选定的“$X\to A$”有关）。

该算法经过严格证明的有效的，可以上面的R(StudentId, ProjectId, TeacherId)模式为例进行测试。由于不保证得到的分解是保持函数依赖的，因此需要的话可考虑改用〖关系模式的 3NF 规范化（合成法）〗。