关系模式的分解（关系型数据库理论）

逻辑蕴涵（logical implication）

给定 关系模式 $R(U,F)$，其任何一个关系 $r$，若 函数依赖 $X\to Y$ 都成立，则称 $F$ 逻辑蕴涵 $X\to Y$．

闭包（closure）

给定 关系模式 $R(U,F)$， $F$ 逻辑蕴涵的函数依赖的全体叫作 $F$ 的 闭包，记为 $F^{+}$．

之所以需要这个定义以及上面逻辑蕴涵的定义，是因为原生的 $F$ 一般是按极小化来列出所包含的依赖，而 $F^{+}$ 还纳入了由 $F$ 推导出的所有可能的依赖组合（比如传递函数依赖），这方便后面的推理分析

Armstrong 公理系统（Armstrong’s axioms）

设 $U$ 为属性组全集， $F$ 是 $U$ 上的一组 函数依赖，那么 关系模式 $R(U,F)$ 具有以下推理规则（inference rules）：

1. 自反律（reflexivity rule）：若 $Y\subseteq X\subseteq U$，则 $X\to Y$ 为 $F$ 所蕴涵．

2. 增广律（augmentation rule）：若 $X\to Y$ 为 $F$ 所蕴涵，且 $Z\subseteq U$，则 $X\cup Z\to Y\cup Z$ 为 $F$ 所蕴涵．

3. 传递律（transitivity rule）：若 $X\to Y$ 及 $Y\to Z$ 为 $F$ 所蕴涵，则 $X\to Z$ 为 $F$ 所蕴涵．

根据上面的三条规则，可以进一步得到下面三条很有用的推理规则：

• 合并规则（union rule）：若 $X\to Y,X\to Z$，则 $X\to Y\cup Z$．

• 伪传递规则（pseudo-transitivity rule）：若 $X\to Y,Y\cup W\to Z$，则 $X\cup W\to Z$．

• 分解规则（decomposition rule）：若 $X\to Y,Y\supseteq Z$，则 $X\to Z$．

并且可以得到定理：$X\to A_1{A}_2\cdots A_k$ 成立的充分必要条件是 $X\to A_i(i=1,2,...,k)$ 成立．

关系模式的分解（decomposition of relational schema）

模式分解（decomposition of relational schema）

关系模式 $R(U,F)$ 的一个分解是指 ρ = { R 1 ( U 1 , F 1 ) ,   R 2 ( U 2 , F 2 ) ,   ⋯   ,   R k ( U k , F k ) } \rho=\{R_1(U_1,F_1),\,R_2(U_2,F_2),\,\cdots,\,R_k(U_k,F_k)\} ρ={R1​(U1​,F1​),R2​(U2​,F2​),⋯,Rk​(Uk​,Fk​)}其中 $U={\bigcup }_{i=1}^k{U}_i$ 并且 $U_i⊈U_j(1⩽i\ne j⩽k)$， $F_i$ 是 $F$ 在 $U_i$ 上的投影，即 F i = { X → Y ∣ X → Y ∈ F + ,   X ∪ Y ⊆ U i } F_i=\{X\to Y\mid X\to Y\in F^+,\, X\cup Y\sube U_i\} Fi​={X→Y∣X→Y∈F+,X∪Y⊆Ui​}．

满足该定义的分解，并不保证原函数依赖还存在于分解后的各子关系模式中，比如若把关系模式R(Student, Department, Dean)（Student是主键）分解成R1(Student, Department)和R1(Student, Dean)，丢失了函数依赖Department$\to$Dean。

保持函数依赖的分解（functional dependency preserving decomposition，FDPD）

关系模式 $R(U,F)$ 的一个 分解 ρ = { R 1 ( U 1 , F 1 ) , ⋯   , R k ( U k , F k ) } \rho=\{R_1(U_1,F_1),\cdots,R_k(U_k,F_k)\} ρ={R1​(U1​,F1​),⋯,Rk​(Uk​,Fk​)} 是 保持函数依赖的（functional dependency preserving，FDP），如果 $F^{+}=({\cup }_{i=1}^k{F}_i{)}^{+}$．

例如，把关系模式R(Student, Department, Dean)（Student是主键）分解成R1(Student, Department)和R1(Department, Dean)，是保持函数依赖的分解。

具有无损连接性的分解（lossless join decomposition，LJD）

设 ρ = { R 1 ( U 1 , F 1 ) , ⋯   , R k ( U k , F k ) } \rho=\{R_1(U_1,F_1),\cdots,R_k(U_k,F_k)\} ρ={R1​(U1​,F1​),⋯,Rk​(Uk​,Fk​)} 是 关系模式 $R(U,F)$ 的一个分解，若对 $R(U,F)$ 的任何一个关系 $r$ 均有 r = m ρ ( r ) = ⋈ i = 1 k π R i ( r ) , 其中   π R i ( r ) = { t [ U i ] ∣ t ∈ r } r=m_\rho(r)=\bowtie_{i=1}^k\pi_{R_i}(r),\quad 其中\,\pi_{R_i}(r)=\{t[U_i]\mid t\in r\} r=mρ​(r)=⋈i=1k​πRi​​(r),其中πRi​​(r)={t[Ui​]∣t∈r}成立，则称 分解 $\rho$ 具有 无损连接性（lossless join），将 $\rho$ 简称为 无损连接分解．

其中的 $\bowtie$ 表示的是自然连接，${\pi }_{R_i}(r)$ 则是关系 $r$ 对应于分解子关系模式 $R_i(U_i,F_i)$ 的分解子关系。按前面的例子，把关系模式R(Student, Department, Dean)（Student是主键）分解成R1(Student, Department)和R1(Student, Dean)，虽然不是保持函数依赖的分解，但却是无损连接分解。

是无损连接分解但不能保持函数依赖的话，虽然这种分解可以无损复原，但数据的更新和插入容易出错，比如上面示例中Department和Dean是分散在两张表中

再看一个例子，将关系模式 R ( { S t u d I D , S t u d N a m e , C o u r s e I D , C o u r s e N a m e } ,   { S t u d I D → S t u d N a m e , C o u r s e I D → C o u r s e N a m e } ) R(\{StudID,StudName,CourseID,CourseName\},\,\{StudID\to StudName,CourseID\to CourseName\}) R({StudID,StudName,CourseID,CourseName},{StudID→StudName,CourseID→CourseName})（{StudID,CourseID}为主键）分解成 R 1 ( { S t u d I D , S t u d N a m e } ,   { S t u d I D → S t u d N a m e } ) R 2 ( { C o u r s e I D , C o u r s e N a m e } ,   { C o u r s e I D → C o u r s e N a m e } ) R_1(\{StudID,StudName\},\,\{StudID\to StudName\})\\ R_2(\{CourseID,CourseName\},\,\{CourseID\to CourseName\}) R1​({StudID,StudName},{StudID→StudName})R2​({CourseID,CourseName},{CourseID→CourseName})是保持函数依赖的分解，但却不是无损连接分解，因为 $R_1,R2$ 的自然连接将退化为笛卡尔积（而原关系 $r$ 不一定都是笛卡尔积）。（另见〖第三范式（3NF）〗中的示例）

定理一

对于 关系模式 $R(U,F)$ 的一个分解 ρ = { R 1 ( U 1 , F 1 ) , R 2 ( U 2 , F 2 ) } \rho=\{R_1(U_1,F_1),R_2(U_2,F_2)\} ρ={R1​(U1​,F1​),R2​(U2​,F2​)}，如果 $U_1\cap U_2\to U_1-U_2\in F^{+}$ 或 $U_1\cap U_2\to U_2-U_1\in F^{+}$，则 $\rho$ 具有无损连接性．

注意到定理中要求的是“$\to$”，即函数依赖关系；对于多值依赖的情况，可参见〖多值依赖（multi-valued dependency）〗中的定理。由该定理很直观，并且很容易可以推广到子关系模式为 $n$ 个的分解情形。

定理二

若 ρ = { R 1 ( U 1 , F 1 ) , ⋯   , R k ( U k , F k ) } \rho=\{R_1(U_1,F_1),\cdots,R_k(U_k,F_k)\} ρ={R1​(U1​,F1​),⋯,Rk​(Uk​,Fk​)} 是 关系模式 $R(U,F)$ 的一个无损连接分解， σ = { S 1 , ⋯   , S m } \sigma=\{S_1,\cdots,S_m\} σ={S1​,⋯,Sm​} 是 $\rho$ 中 $R_i(U_i,F_i)$ 的一个无损连接分解，那么 ρ ′ = { R 1 , ⋯   , R i − 1 ,   S 1 , ⋯   , S m ,   R i + 1 , ⋯   , R k } , ρ ′ ′ = { R 1 , ⋯   , R k ,   R k + 1 , ⋯   , R n } \rho'=\{R_1,\cdots,R_{i-1},\,S_1,\cdots,S_m,\,R_{i+1},\cdots,R_k\},\enspace\rho''=\{R_1,\cdots,R_k,\,R_{k+1},\cdots,R_n\} ρ′={R1​,⋯,Ri−1​,S1​,⋯,Sm​,Ri+1​,⋯,Rk​},ρ′′={R1​,⋯,Rk​,Rk+1​,⋯,Rn​}均是 $R(U,F)$ 的无损连接分解．

其中 ${\rho }^{\prime }$ 是无损连接分解是显而易见的，${\rho }^{\prime \prime }$ 的暂未明白什么意思（有时间再研究），总之二者都是可以证明成立的，该定理是分解法规范化的基础。