关系、关系模式和关系表，候选键、主键和外键（关系型数据库理论）

另见〖函数依赖、多值依赖和连接依赖（关系型数据库理论）〗

域（domain）

域是一组具有相同数据类型的值的集合．

比如自然数集、实数集、{0, 1}、{"男", "女"}等都是域，一个域中（不同）值的个数称为这个域的基数（cardinal number）。

笛卡尔积（Cartesian product）

给定一组 域 $D_1,D_2,...,D_n$，允许其中某些域是相同的，这组域的 笛卡尔积 $$D_1\times D_2\times ...\times D_n=\{(d_1,d_2,...,d_n)\mid d_i\in D_i,i=1,2,...,n\}$$其中的每一个元素 $(d_1,d_2,...,d_n)$ 叫作一个 $n$ 元组（n-tuple），或简称元组。元组中的每一个值 $d_i$ 叫做元组的一个 分量（component）．

笛卡尔积也是域，只不过是元素为元组的域，其基数等于来源域的乘积 ${\prod }_{i=1}^n{m}_i$．笛卡尔积可表示为一张二维表，表中的每行对应一个元组，表中的每一列的值来自一个域，在 SQL 查询中也被叫做交叉连接（cross join）。

关系（relation）

笛卡尔积 $D_1\times D_2\times ...\times D_n$ 的子集叫做在域 $D_1,D_2,...,D_n$ 上的 关系，表示为 $R(D_1,D_2,...,D_n)$，其中 $R$ 表示关系的名字，该关系的 目（或 度）为 $n$，称其为 $n$ 元关系．

关系是笛卡尔积的子集，所以关系也可以表示为一张二维表，因而称作关系表（relational table），关系表中的行也称作记录，列也称作字段。由于域可以相同，为了加以区分又称二维表中的列为属性（attribute），属性有名称和数据类型。

关系表是元组的集合，可见不能存在重复的元组（行）。关系表一般有基本表、查询表和视图表这三种类型，其中基本表是有相应物理存储的表，查询表是查询结果集对应的表（一般存于内存中），视图表是构建在基本表之上的无物理存储的虚拟表。

对于实际业务数据库中的关系表，通常还需要满足三个数据上的完整性要求：①实体完整性（entity integrity），主键值非空；②引用完整性（referential integrity），外键值在所引用表主键的域值内；③自定义完整性（user-defined integrity），比如对特定字段限定取值。

关系模式（relational schema）

对于 关系的描述称为 关系模式，它可以形式化地表示为 $R(U,D,DOM,F)$，其中 $R$ 为关系名， $U$ 为属性名集合， $D$ 为 $U$ 中属性所来自的 域， $DOM$ 为属性向域的映射集合， $F$ 为属性间数据的依赖关系集合．

关系模式通常可以简记为 $R(U)$ 或 $R(A_1,A_2,...,A_n)$，其中 $A_i$ 是属性名，这在实际数据库中可大致理解为表结构元数据。需要注意的是，关系是关系模式的一个具体实例；关系模式是静态的（表结构不变），关系是动态的（表内容可能不断变化）。

键（key）

关系模式中属性的组合称之为 键。若某个键的值能唯一地标识一个元组，那么称其为 超键（super key）；若某个超键的子集都不是超键，那么称其为 候选键（candidate key）．

构成候选键的属性组中的诸属性（即候选键属性）称为键属性（key attribute），不包含在任何候选键中的属性称为非键属性（non-key attribute）。在最简单的情况下，候选键可以只由一个属性构成；最极端的情况下，候选键可能需要由全部属性构成。

简单来说，候选键需要满足以下三个要求：①唯一性，候选键的值唯一标识一条记录；②最小性，候选键是最小的超键；③非空性，候选键的值不能为空（NULL）。（最好的情况是键属性的值都不为空）

主键（primary key，PK）

关系模式中的 主键是人为从中选定的那个 候选键．

候选键可以有多个，但主键只有一个。如果构成主键的属性组中不止一个属性，这种主键也叫做复合主键（composite primary key）。

外键（foreign key，FK）

关系模式中的 外键是人为从中确定的属性，该属性的 值域要求是另一张关系表的 主键值域的子集．

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参考文献/文章

• 《数据库系统概论（第5版）》“十二五”高教版