7、传递函数代数与生产系统建模

传递函数代数与生产系统建模

1. 传递函数的因式分解

1.1 连续时间与离散时间传递函数的因式形式

对连续时间或离散时间传递函数的分子和分母多项式进行因式分解是很有用的。分母多项式的根分析能提供关于系统或系统组件基本动态行为的重要信息。

连续时间传递函数因式分解结果为：
[G(s)=\frac{K_s(s - c_1)(s - c_2)\cdots(s - c_m)}{(s - r_1)(s - r_2)\cdots(s - r_n)}e^{-sD}]
其中，根 (r_1, r_2, \cdots, r_n) 和 (c_1, c_2, \cdots, c_m) 可以是实数或复数，(K_s) 是标量，常称为传递函数的增益。

离散时间传递函数因式分解结果为：
[G(z)=\frac{K_z(z - c_1)(z - c_2)\cdots(z - c_m)}{(z - r_1)(z - r_2)\cdots(z - r_n)}]

1.2 示例

1.2.1 连续时间传递函数因式分解示例

传递函数 (G(s)=\frac{b_1s + b_0}{s^2 + a_1s + a_0}) 可因式分解为 (G(s)=\frac{K_s(s - c_1)}{(s - r_1)(s - r_2)})，其中 (K_s = b_1)，(c_1 = -\frac{b_0}{b_1})，(r_{1,2}=\frac{-a_1\pm\sqrt{a_1^2 - 4a_0}}{2})。

1.2.2 离散时间传递函数因式分解示例

传递函数 (\frac{