备战蓝桥杯---动态规划（基础2）

最新推荐文章于 2025-11-30 20:35:27 发布

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#蓝桥杯 #动态规划 #算法 #c++

文章介绍了如何通过动态规划和记忆化搜索算法求解最长不下降子序列问题，包括递归方法和滑动窗口的应用，以及C++代码实现。

本专题主要是介绍几个比较经典的题目：

假设我们令f[i]为前i个的最长不下降子序列，我们会发现难以转移方程很难写（因为我们不知道最后一个数）。

于是，我们令f[i]为以i结尾的最长不下降子序列，这样子我们就可以得出

f[i]=max{f[j]+1}(a[j]<=a[i]&&j<i)

f[i]=1;

复杂度为n^2;用单调队列维护可nlogn;

下面给出用递归for循环代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[100000],dp[100000];
deque<int> q;
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
	dp[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<i;j++){
			if(a[j]<=a[i]) dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
		}
	}
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) ans=max(ans,dp[i]);
	cout<<ans;
}

下面是用记忆化搜索实现：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[100000],dp[100000];
deque<int> q;
int f(int x){
	if(dp[x]!=0) return dp[x];
	for(int i=1;i<=x-1;i++){
		if(a[i]<=a[x]) dp[x]=max(dp[x],f(i)+1);
	}
	return dp[x];
}
int main(){
	cin>>n;
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
	dp[1]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		ans=max(ans,f(i));
	}
	cout<<ans;
	
}

接题：

我们设f[i][j]表示从i,j滑下的最长路径，易得：

f[i][j]=max{f[i-1][j]+1,f[i+1][j]+1,f[i][j+1]+1,f[i][j-1]+1}(a[i-1][j]<a[i][j],a[i+1][j]<a[i][j],a[i][j-1]<a[i][j],a[i][j+1]<a[i][j])

在实现上，for循环不知道某先f[i][j]，我们需要按从低到高的顺序求，比较麻烦。

于是我们用记忆化搜索。

下面是AC代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define int long long
int a[105][105],r,c,ans,dp[105][105];
int f(int i,int j){
	if(i<=0||j<=0||i>r||j>c) return 0;
	if(dp[i][j]!=0) return dp[i][j];
	if(a[i-1][j]<a[i][j]) dp[i][j]=max(dp[i][j],f(i-1,j)+1);
	if(a[i+1][j]<a[i][j]) dp[i][j]=max(dp[i][j],f(i+1,j)+1);
	if(a[i][j-1]<a[i][j]) dp[i][j]=max(dp[i][j],f(i,j-1)+1);
	if(a[i][j+1]<a[i][j]) dp[i][j]=max(dp[i][j],f(i,j+1)+1);
	if(dp[i][j]==0) return dp[i][j]=1;
	else return dp[i][j];
}
signed main(){
	cin>>r>>c;
	for(int i=1;i<=r;i++){
		for(int j=1;j<=c;j++){
			scanf("%d",&a[i][j]);
		}
	}
	for(int i=1;i<=r;i++){
		for(int j=1;j<=r;j++){
			ans=max(ans,f(i,j));
		}
	}
	cout<<ans;
}