最低公共祖先

题目

二叉树结点的定义如下：

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1. struct node {  
2.     int data;  
3.     struct node* left;  
4.     struct node* right;  
5. };  

给定二叉树中的两个结点，输出这两个结点的最低公共祖先结点（LCA）。注意，该二叉树不一定是二叉搜索树。

比如给定的二叉树如下所示，则可以知道结点1和5的最低公共祖先结点为5，结点4和5的最低公共祖先结点为5。

        _______3______
       /              \
    ___5__          ___1__
   /      \        /      \
   6      _2       0       8
         /  \
         7   4

 

解法

1）自顶向下的方法

我们可以从根结点出发，判断当前结点的左右子树是否包含这两个结点。如果左子树包含两个结点，则它们的最低公共祖先结点也一定在左子树中。如果右子树包含两个结点，则它们的最低公共祖先结点也一定在右子树中。如果一个结点在左子树，而另一个结点在右子树中，则当前结点就是它们的最低公共祖先结点。根据该思路写出代码如下，注意这里已经假定p和q是二叉树中的结点。

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1. /*查找二叉树中两个结点最低公共祖先结点*/  
2. struct node* LCA(struct node *root, struct node *p, struct node *q)   
3. {  
4.     if (hasNode(root->left, p) && hasNode(root->left, q)) //p和q都在左子树中          
5.         return LCA(root->left, p, q);  
6.     if (hasNode(root->right, p) && hasNode(root->right, q)) //p和q都在右子树中  
7.         return LCA(root->right, p, q);  
8.     return root; //p和q一个在左子树，一个在右子树中，直接返回root  
9. }  
10.   
11. /*判断root为根的树是否包含结点p*/  
12. bool hasNode(struct node* root, struct node* p)  
13. {  
14.     if (!root) return false;  
15.     if (root == p)  
16.         return true;  
17.     return hasNode(root->left, p) ||  hasNode(root->right, p);  
18. }  

由于我们对每个结点都调用了hasNode函数，而该函数类似于遍历二叉树，复杂度为O(N)，所以总的时间复杂度为O(N^2)，我们期望找到一个更好的方法。

 

2）自底向上的方法

由于自顶向下的方法需要重复遍历结点，使用自底向上的方法可以避免这种情况。

自底向上遍历结点，一旦遇到结点等于p或者q，则将其向上传递给它的父结点。父结点会判断它的左右子树是否都包含其中一个结点，如果是，则父结点一定是这两个节点p和q的LCA，传递父结点到root。如果不是，我们向上传递其中的包含结点p或者q的子结点，或者NULL(如果子结点不包含任何一个)。该方法时间复杂度为O(N)。

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1. typedef struct node Node;  
2. Node *LCA(Node *root, Node *p, Node *q) {  
3.   if (!root) return NULL;  
4.   if (root == p || root == q) return root;  
5.   Node *L = LCA(root->left, p, q);  
6.   Node *R = LCA(root->right, p, q);  
7.   if (L && R) return root;  // 如果p和q位于不同的子树    
8.   return L ? L : R;  //p和q在相同的子树，或者p和q不在子树中  
9. }  

3）公共路径法

还有一个方法就是依次得到从根结点到结点p和q的路径，找出它们路径中的最后一个公共结点即是它们的LCA。该算法在何海涛先生的博客中有详细描述，这里就不赘述，详见http://zhedahht.blog.163.com/blog/static/25411174201081263815813/，该方法复杂度也为O(N)，不过需要额外的空间存储路径，当然第2种方法中递归也是需要栈空间的，不过整体来看第2种方法简洁但是不是很好理解，而公共路径法则更加易懂。