找零

本文详细阐述了如何解决零钱问题,通过动态规划方法求解使用不同面额硬币组合来找出特定金额所需的最少硬币数量。代码示例展示了算法实现。

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零钱问题

设有n种不同面值的硬币,各硬币的面值存于数组T[1:n]中。现要用这些面值的硬币来找钱,可以实用的各种面值的硬币个数不限。当只用硬币面值T[1],T[2],…,T[i]时,可找出钱数j的最少硬币个数记为C(i,j)。若若只用这些硬币面值,找不出钱数j时,记C(i,j)=∞:

vector<vector<int>>c(t.size()+1,vector<int>(n+1,0));
    for(int j=1;j<=n;j++)
    {
       if(j%t[1]==0)
     c[1][j]=j/t[1];
     else
        c[1][j]=INT_MAX;
    }
    for(int i=2;i<=t.size();i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
    {
        if(j>=0&&j<t[i])
            c[i][j]=c[i-1][j];
        else
            c[i][j]=min(c[i-1][j],c[i][j-t[i]]+1);
    }

return c[t.size()][n];


### 关于找零系统的实或算法 找零系统的设计通常涉及两种主要方法:**贪心算法**和**动态规划**。以下是这两种方法的具体介绍及其适用场景。 #### 贪心算法的实 贪心算法的核心思想是在每一步选择中都采取当前状态下最优的选择,从而希望达到全局最优解。然而,在某些特定条件下,这种策略可能无法得出真正的最优解[^3]。 在找零问题中,贪心算法的工作流程如下: 1. 面值数组按降序排列。 2. 从最大面值开始尝试分配硬币数量,直到满足总金额需求为止。 3. 如果剩余金额为0,则完成找零;否则返回无解。 这种方法适用于货币体系具有某种特殊性质的情况(例如美国货币)。但是,对于一些不规则的货币组合,可能会导致次优甚至错误的结果[^4]。 ```java public class CoinChangeGreedy { public static int[] coinDenominations = {25, 10, 5, 1}; // 美元硬币面额 public static List<Integer> makeChange(int amount) { List<Integer> result = new ArrayList<>(); for (int i = 0; i < coinDenominations.length && amount > 0; i++) { while (coinDenominations[i] <= amount) { result.add(coinDenominations[i]); amount -= coinDenominations[i]; } } if (amount != 0) throw new IllegalArgumentException("Cannot provide change with given denominations."); return result; } } ``` #### 动态规划的实 相比之下,动态规划能够保证找到最小硬币数目的解决方案。它的基本思路是利用子问题之间的关系构建状态转移方程,并储这些中间结果以减少冗余计算。时间复杂度一般为 O(n*m),其中 n 表示目标金额 m 是不同种类硬币的数量[^2]。 下面是一个基于Java语言的例子展示了如何运用动态规划解决此类问题: ```java public class CoinChangeDP { public static int minCoinsRequired(int[] coins, int totalAmount){ int [] dp=new int[totalAmount+1]; Arrays.fill(dp,Integer.MAX_VALUE); dp[0]=0; for(int i=1;i<=totalAmount;i++){ for(int j=0;j<coins.length;j++){ if(i-coins[j]>=0 && dp[i-coins[j]]!=Integer.MAX_VALUE ){ dp[i]=Math.min(dp[i],dp[i-coins[j]]+1); } } } return dp[totalAmount]==Integer.MAX_VALUE ? -1 : dp[totalAmount]; } } ``` 尽管该方法较为耗时且占用更多内空间,但它提供了更广泛的适应性和准确性保障。 --- ###
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