校内互测 [from abclzr] T2 （DP）

题目描述

mrazer在一个 n 行 m列的棋盘上， 坐标(x,y)代表第 x 行第 y 列的棋盘格子。
他要从(1,1)走到(n,m)，每次只能向右走一格或向下走一格，不能走出棋盘。而
且棋盘上有些格子是不能走的。mrazer 想要选择两条从(1,1)走到(n,m)的路，这
两条路上的格子除了(1,1)和(n,m)不能有重复的，也就是说两条路在中间不能有
交点。他想知道这两条路的选择一共有多少种不同的方案。两种选择中有一条路
不同则视这两种选择不同。

输入格式

从文件 in sun. 中读入数据。
第一行输入两个整数n ，m 。
接下来n 行，每行输入一个长度为m 的 01串，表示一个字符矩阵。
矩阵中第i 行第 j 个字符表示(i,j)这个格子的能不能走。字符’0’表示能走，字
符’1’表示不能走。
数据保证字符矩阵的(1,1)和(n,m)位置为’0’。

输出格式

输出到文件 out sun. 中
输出一个整数，表示不同的选择数。因为这个答案可能很大，所以请输出答
案对 1000000007取模的结果。

样例输入

3 3
000
010
000

样例输出

1

数据范围

n,m<=5000

题解

这道题暴力DP应该比较好写
f[i][j][k]表示第一条路径到(i,j)，第二条路径到(k,i+j-k)的合法的方案数
但是n,m<=5000，所以需要对思路进行转换
我们定义有限集合：
X0：从(2,1)走到(n,m-1)的不走1路径集合。
X1：从(1,2)走到(n-1,m)的不走1路径集合。
X2：从(2,1)走到(n-1,m)的不走1路径集合。
X3：从(1,2)走到(n,m-1)的不走1路径集合。

答案就是：
$|\{(x0,x1)|x0\in X0,x1\in X1 \space x0,x1的路径不相交\}|$
利用容斥原理
$|\{(x0,x1)|x0\in X0,x1\in X1\}|-|\{(x0,x1)|x0\in X0,x1\in X1 \space x0,x1的路径相交\}|$
然后我们定义
$A=|\{(x0,x1)|x0\in X0,x1\in X1 \space x0,x1的路径相交\}|$
$B=|\{(x2,x3)|x2\in X2,x3\in X3|$
对 A 中的一个二元组(x0,x1)，找到x0和x1最后相交的点，把这个点之后的x0和x1的路径互换一下，就组成新的(x2,x3)
对于A,B中的点对是一一对应的，所以$|A|=|B|$
那么最后的答案就是
$|X0||X1|-|X2||X3|$

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define N 5003
#define p 1000000007
#define LL long long 
using namespace std;
int n,m;
LL f[N][N],g[N][N];
char s[N][N];
int main()
{
    freopen("sun.in","r",stdin);
    freopen("sun.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%s",s[i]+1);
    f[2][1]=g[1][2]=1;
    for (int i=1;i<=n;i++)
     for (int j=1;j<=m;j++)
      if (s[i][j]!='1') {
        if (i!=2||j!=1) f[i][j]=(f[i-1][j]+f[i][j-1])%p;
        if (i!=1||j!=2) g[i][j]=(g[i-1][j]+g[i][j-1])%p;
      }
    LL ans=f[n][m-1]*g[n-1][m]%p-f[n-1][m]*g[n][m-1]%p;
    ans=(ans%p+p)%p;
    printf("%I64d\n",ans);
}