MIT自适应律MRAC的理解和MATLAB实现

什么是MIT自适应律？

之所以叫MIT自适应律，是因为起源于美国麻省理工大学MIT。

假定被控对象中有一种参数theta，当调节这个参数theta后，可以让系统输出和参考模型输出之差变为0，那么更新这种参数theta的公式，就叫做MIT自适应律。

什么是灵敏度导数？什么是调整率？

参考模型和实际模型输出误差的大小，相对于参数theta的变化率，就是灵敏度。

调整率就类似于梯度下降法里面的步长，该以多少的速度朝着这个梯度前进，这个速度就是调增率。

基于MIT律的可调增益MRAC计算过程

系统由最上面的参考模型，中间的控制器，plant模型，以及下面的自适应调整机构（即MIT律）组成。

参考模型和实际模型之间的误差为

进行求导，可以得到灵敏度导数

然后得到自适应律公式

其中，gamma就是自适应律

系统的控制律为

计算过程和伪代码如下

MATLAB仿真

被控对象参数

各个步骤MATLAB代码如下

仿真效果

r = 0.6时，闭环系统输出响应特别慢

r = 1.2时，输出性能响应良好

r = 3.2时，系统变得不稳定

改进的MIT归一化算法和仿真结果

可以看到上面的缺陷，就是当自适应增益gamma超出一定范围之后，输出将会变得不稳定。

为了克服这种缺陷，需要做一些修正，使得自适应增益与输入信号幅值无关，一种修正方案就是实现归一化，修正MIT自适应律。

alpha大于零，是为了防止出现零除现象。

同时还可以引入一种饱和特性，保证参数调整率总小于一定的临界值。

最终的归一化MIT适应律为

修正之后的代码体现

仿真效果对比

完整MATLAB代码附录

普通MIT适应律

clear all;
close all;
% clc;

% 数值积分的步长
h = 0.1;
% 仿真步数，相当于是100秒
L = 100/h;

% 对象参数
num = [1]; den = [1 1 1]; n = length(den) - 1; 
% plant的传递函数形态转换成状态空间
kp = 1;
[Ap, Bp, Cp, Dp] = tf2ss(kp * num, den);
% model的传递函数形态转换成状态空间
km = 1;
[Am, Bm, Cm, Dm] = tf2ss(km * num, den);

% 自适应律的自适应增益
gamma = 0.1;
yr0 = 0;        % 整个系统的参考输入值reference
u0 =