判断一个点是否在三角形内

这个问题分为2d和3d两种情况，都可以利用面积法来解决，但是对于浮点数，面积法误差比较大，不易于操作，比较方便的办法是使用叉积。

 

1. 2d情况(转载自 http://blog.youkuaiyun.com/dracularking/archive/2008/03/25/2217180.aspx )

   

   沿着三角形的边按顺时针方向走，判断该点是否在每条边的右边（这可以通过叉乘判断),如果该点在每条边的右边，则在三角形内，否则在三角形外。

    (x1,y1)和(x2,y2）的叉乘结果是x1*y2-x2*y1，这个结果可以通过将(x1,y1）和(x2,y2)扩展为3d(x1,y1,0)和(x2,y2,0）之后，利用3d向量的叉乘公式得到结果。

 

    这个算法只用到了三次叉乘，没有除法运算和三角函数、开根号等运算，所以效率很高，而且精度很高（没有浮点误差）。

 

    基本步骤描述如下：

 

    设三角形三点A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3)，已知点M(x,y),

    (1) 先求出三个向量MA,MB,MC. 

    （2）计算MAX MB,MB X MC,MC X MA (X表叉乘)

    （3）如果此三组的向量叉乘的结果都是同号的（或都正，或都负），即方向相同的，则说明点M在三角形每条边的同侧，即内部。否则必在外部！

    具体示例：
    A(0,3) B(0,0)C(3,0)          

    M(1,1)
    MA (1,-2)
    MB (1,1)
    MC (-2,1) 

    MA X MB = 3
    MB X MC = 3
    MC X MA = 3

 

（2）3d情况编码起来相对更加复杂一些：(转载自 http://blog.sina.com.cn/s/blog_61feffe10100n5yv.html )

 

   假设点P位于三角形内，会有这样一个规律，当我们沿着ABCA的方向在三条边上行走时，你会发现点P始终位于边AB，BC和CA的右侧。我们就利用这一点，但是如何判断一个点在线段的左侧还是右侧呢？我们可以从另一个角度来思考，当选定线段AB时，点C位于AB的右侧，同理选定BC时，点A位于BC的右侧，最后选定CA时，点B位于CA的右侧，所以当选择某一条边时，我们只需验证点P与该边所对的点在同一侧即可。

 

   问题又来了，如何判断两个点在某条线段的同一侧呢？可以通过叉积来实现。

   连接AP，将AP和AB做叉积，再将AC和AB做叉积，如果两个叉积的结果方向一致，那么两个点在同一测。判断两个向量是否方向一致，可以用点积实现，如果点积大于0，则两向量夹角是锐角，此时两向量方向一致，否则是钝角，两向量方向不一致。

 

具体编码如下所示：

 

1	// 3D vector
2	class Vector3
3	{
4	public:
5	Vector3(float fx, float fy, float fz)
6	:x(fx), y(fy), z(fz)
7	{
8
9	}
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12	// Subtract
13	Vector3 operator - (const Vector3& v) const
14	{
15	return Vector3(x - v.x, y - v.y, z - v.z) ;
16	}
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18
19	// Dot product
20	float Dot(const Vector3& v) const
21	{
22	return x * v.x + y * v.y + z * v.z ;
23	}
24
25
26	// Cross product
27	Vector3 Cross(const Vector3& v) const
28	{
29	return Vector3(
30	y * v.z - z * v.y,
31	z * v.x - x * v.z,
32	x * v.y - y * v.x ) ;
33	}
34
35
36	public:
37	float x, y, z ;
38	};
39
40
41	// Determine whether two vectors v1 and v2 point to the same direction
42	// v1 = Cross(AB, AC)
43	// v2 = Cross(AB, AP)
44	bool SameSide(Vector3 A, Vector3 B, Vector3 C, Vector3 P)
45	{
46	Vector3 AB = B - A ;
47	Vector3 AC = C - A ;
48	Vector3 AP = P - A ;
49
50
51	Vector3 v1 = AB.Cross(AC) ;
52	Vector3 v2 = AB.Cross(AP) ;
53
54
55
56	// v1 and v2 should point to the same direction
57	return v1.Dot(v2) >= 0 ;
58	}
59
60
61	// Same side method
62	// Determine whether point P in triangle ABC
63	bool PointinTriangle1(Vector3 A, Vector3 B, Vector3 C, Vector3 P)
64	{
65	return SameSide(A, B, C, P) &&
66	SameSide(B, C, A, P) &&
67	SameSide(C, A, B, P) ;
68	}
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