26、计算简单函数的MODm电路的一些性质

计算简单函数的MODm电路的一些性质

1. 引言

在理论计算机科学中，推导布尔函数规模复杂度的强下界是一项重大挑战。当对布尔电路施加诸如恒定深度或单调等限制时，对于计算某些布尔函数的布尔电路规模，已经得到了指数级下界。本文聚焦于由模门组成的布尔电路（即模块化电路），推导关于有限深度模块化电路的相关结论，这可能有助于推导此类电路计算特定函数时的下界。

MODm门是一种具有无界扇入的布尔门，当且仅当其输入之和能被m整除时，输出为0。MODm电路则是仅由MODm门构成的无环电路。已知若模数m是质数或质数的幂，那么即使允许使用任意数量的此类门，任何恒定深度的MODm电路都无法计算n个变量的AND函数。然而，当m是合数（如m = 6）时，我们对MODm电路的复杂度了解甚少。

本文探索了获得模块化电路规模良好下界的新方法。大多数推导模块化电路强下界的技术（如随机限制或随机聚类）依赖于概率论证，而本文的方法完全依赖于可构造论证。本文主要完成了两部分工作：一是给出将任意有限深度的MOD2p电路转换为（MODp – MOD2）电路的过程；二是通过傅里叶分析推导计算对称函数的（MODp – MOD2）电路的性质。基于此，我们可以考虑这样一种推导MOD2p电路下界的策略：假设一个多项式规模的恒定深度MOD2p电路C计算一个对称函数，如果能证明将步骤（i）中的过程应用于电路C所得到的电路不满足步骤（ii）中描述的性质，那么就可以得到计算某个对称函数的恒定深度MOD2p电路规模的超多项式下界，但目前尚未沿此思路成功获得下界。

2. 预备知识

以下是一些基本的定义和符号：
- MODm门 ：一个具有无界扇入的布尔门，