21、最小多播拥塞的快速近似算法

最小多播拥塞的快速近似算法

1. 符号说明

在解决最小多播拥塞问题时，我们会用到一些特定的符号来描述图和相关参数：
- (G = (V, E))：表示一个具有 (n) 个节点和 (m) 条边的图。
- (S_1, \ldots, S_k \subseteq V)：代表 (k) 个多播请求。
- (T_i)：以 (S_i) 为终端节点的所有斯坦纳树的集合。
- (\hat{T} i)：在算法执行过程中为 (S_i) 计算得到的斯坦纳树的集合。
- (c_i(T))：树 (T) 对请求 (S_i) 造成的拥塞。
- (c_i(e) = \sum {T \in T_i, e \in E(T)} c_i(T))：边 (e) 由于请求 (S_i) 导致的拥塞。
- (c(e) = \sum_{i = 1}^{k} c_i(e))：边 (e) 的总拥塞。
- (c_{max} = \max_{e \in E} c(e))：最大边拥塞。
- (l)：定义在边上的非负长度函数，(l(U) = \sum_{e \in E(U)} l(e)) 表示子图 (U) 的边长度之和。
- (\beta)：计算一个 (r) - 近似最优斯坦纳树所需的时间。
- (MST_l(S_i)) 和 (\tilde{MST}_l(S_i))：分别表示关于长度函数 (l) 的 (S_i) 的最小斯坦纳树和近似最小斯坦纳树，通常省略 (l)，且假设 (l(\tilde{MST}(S_i)) \leq r \cdot l(MST(S_i)))。

2. 近似算法

2.1 LP 公式化