完全背包（动态规划）

Description

设有n 种物品，每种物品有一个重量及一个价值。但每种物品的数量是无限的，同时有一个背包，最大载重量为M，今从n 种物品中选取若干件(同一种物品可以多次选取)，使其重量的和小于等于M，而价值的和为最大。

Input

第一行：两个整数，M(背包容量，M<= 200)和N(物品数量，N<= 30)； 第2..N+1 行：每行二个整数Wi,Ui，表示每个物品的重量和价值。

Output

仅一行，一个数，表示最大总价值。

Sample Input

 

12 4 

2 1 

3 3 

4 5 

7  9

 

Sample Output

 

15

解题思路1：f[i,j]表示前i种物品在容量为j的背包里的最大价值，状态转移方程为：

f[i,j]=max{f[I,j-w[i]]+u[i],f[i-1,j]}

(1<=i<=n,w[i]<=j<=m)

时间复杂度： O(nm)

程序1：

const

  maxm=200;

  maxn=30;

var

  i,j,n,m:longint;

  w,u:array[1..maxn]of longint;

  f:array[0..maxn,0..maxm]of longint;

function max(x,y:longint):longint;

  begin

    if x>y then exit(x);

    exit(y);

end;

begin

  readln(m,n);

  for i:=1 to n do

    readln(w[i],u[i]);

  for i:=1 to n do

    begin

      f[i]:=f[i-1];

      for j:=w[i] to m do

        f[i,j]:=max(f[i,j-w[i]]+u[i],f[i-1,j]);

    end;

  writeln(f[n,m]);

end.

解题思路2： f[j] 表示上一篇解题报告中的 f[i,j] ，状态转移方程为：

f[j]=max{f[j-w[i]]+u[i],f[j]}

(1<=i<=n,w[i]<=j<=m)

时间复杂度： O(nm)

程序2：

const

  maxm=200;

  maxn=30;

var

  i,j,n,m:longint;

  w,u:array[1..maxn]of longint;

  f:array[0..maxm]of longint;

function max(x,y:longint):longint;

  begin

    if x>y then exit(x);

    exit(y);

end;

begin

  readln(m,n);

  for i:=1 to n do

    readln(w[i],u[i]);

  for i:=1 to n do

    for j:=w[i] to m do

      f[j]:=max(f[j-w[i]]+u[i],f[j]);

  writeln(f[m]);

end.

解题思路3： f[i,j] 表示前 i 种物品在容量为 j 的背包里的最大价值，状态转移方程为：

f[i,j]=max{f[i,j-k*w[i]]+k*u[i],f[i-1,j]}

(1<=i<=n,w[i]<=j<=m,0<=k*w[i]<=j)

时间复杂度： O(nm^2)

程序3：

const

  maxm=200;

  maxn=30;

var

  i,j,k,n,m:longint;

  w,u:array[1..maxn]of longint;

  f:array[0..maxn,0..maxm]of longint;

function max(x,y:longint):longint;

  begin

    if x>y then exit(x);

    exit(y);

end;

begin

  readln(m,n);

  for i:=1 to n do

    readln(w[i],u[i]);

  for i:=1 to n do

    begin

      f[i]:=f[i-1];

      for j:=w[i] to m do

        for k:=0 to j div w[i] do

          f[i,j]:=max(f[i,j-k*w[i]]+k*u[i],f[i-1,j]);

    end;

  writeln(f[n,m]);

end.

解题思路4： 这是上一种方法的优化，把 k 次循环缩减为 2^x 次方，就是进行预处理，把完全背包转化为 0/1 背包。

时间复杂度： O(n m㏒m)

程序4：

const

  maxm=200;

  maxn=30;

var

  i,j,n,m,k,z:longint;

  w,u:array[1..maxn]of longint;

  f,a,b:array[0..maxm]of longint;

function max(x,y:longint):longint;

  begin

    if x>y then exit(x);

    exit(y);

end;

begin

  readln(m,n);

  for i:=1 to n do

    readln(w[i],u[i]);

  for i:=1 to n do

    begin

      k:=1;

      while k*w[i]<=m do

        begin

          inc(z);

          a[z]:=w[i]*k;

          b[z]:=u[i]*k;

          k:=k*2;

        end;

    end;

  n:=z;

  for i:=1 to n do

    for j:=m downto a[i] do

      f[j]:=max(f[j-a[i]]+b[i],f[j]);

  writeln(f[m]);

end.

版权属于: Chris

原文地址:  http://blog.sina.com.cn/s/blog_83ac6af80102v9ri.html

转载时必须以链接形式注明原始出处及本声明。