5、模糊集隶属函数的确定方法及应用

模糊集隶属函数的确定方法及应用

1. 模糊集基础概念

在自然世界中，模糊现象普遍存在，如“雨”这一自然现象，从毛毛细雨到倾盆大雨，其强度变化难以精确描述，因此“雨”可被视为模糊现象。人类大脑在感知、识别和分类自然现象时形成的概念往往也是模糊的，其边界不清晰，例如将“雨”分为“小雨”“中雨”和“大雨”，但很难明确界定何时是小雨、中雨或大雨，这体现了模糊分类、判断和推理。

经典数学追求“精确和清晰”的描述，但由于模糊性的存在，在处理模糊概念时会遇到困难。例如，“堆”是一个模糊概念，很难确定多少颗种子构成一堆。为了使数学能够描述模糊现象，需要对康托尔的集合概念进行改革，引入模糊集的概念。

1.1 模糊集的定义

模糊集 (A) 定义在给定的论域 (U) 上，对于任意 (u \in U)，都有一个对应的实数 (\mu_A(u) \in [0, 1]) 与之对应，(\mu_A(u)) 称为 (u) 属于 (A) 的隶属度。这意味着存在一个映射 (\mu_A: U \to [0, 1])，该映射称为 (A) 的隶属函数。

康托尔集可以用特征函数完全描述，而模糊集则用隶属函数描述。如果 (\mu_A) 的值域只取 0 和 1 两个值，那么 (\mu_A) 退化为通常的集合特征函数，此时康托尔集是模糊集的特殊情况。所有在 (U) 上的模糊集记为 (F(U))，康托尔意义下 (U) 的幂集记为 (P(U))，显然 (F(U) \supset P(U))。当 (A \in F(U) \setminus P(U)) 时，(A) 称为真模糊集，即至少存在一个元素 (u_0 \in U) 使得 (\mu_A(u_0) \notin {0, 1})。

<